Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
PRAVLENNAYa_Vychislitelnaya_matematika_2_chast.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
2.11 Mб
Скачать

Продолжение таблицы 3

Номер варианта

Исходная система

Номер варианта

Исходная система

5

,

, ,

20

,

, ,

6

,

, ,

21

,

, ,

7

,

, ,

22

,

, ,

8

,

, ,

23

,

, ,

9

,

, ,

24

,

, ,

10

,

, ,

25

,

, ,

11

,

, ,

26

,

, ,

12

,

, ,

27

,

, ,

13

,

, ,

28

,

, ,

14

,

, ,

29

,

, ,

15

,

, ,

30

,

, ,

1.7 Определение минимума функционала градиентным методом

Цель работы: используя градиентный метод, определить минимум функционала:

z(x,y)=a1x2+a2y2+a3xy+a4x+a5y+a6.

Рекомендация к выполнению задания

Программирование метода производится в среде разработки на выбор студента (Delphi, Borland C++, Turbo Pascal и т.д.).

Входные параметры программы:

a1, …, a6 числовые коэффициенты функционала;

 – погрешность;

 – длина шага спуска;

(x(0), y(0)) начальное приближение.

Выходные параметры программы:

t число итераций;

(x(t), y(t)) приближенное решение на итерации ;

z(x(t), y(t)) значение функции в точке приближенного решения;

|grad z(x(t), y(t))| значение градиента функции на итерации.

Примечание ввести выбор задания длины шага .

1 способ: const.

2 способ: расчет для каждого шага t.

Отчет по самостоятельной работе должен содержать:

постановку задачи;

блок-схему реализации вычисления минимума параболоида вращения;

программу решения задачи.

Теоретические сведения

Задача определения минимума функционала градиентным методом эквивалентна задаче нахождения решения системы нелинейных уравнений. Рассмотрим двумерный случай. Пусть система уравнений имеет вид:

(14)

Введем новую функцию вида:

Ф(x,y)=f 2(x,y)+g2(x,y).

Т. к. функция Ф(x,y) неотрицательна, то найдется точка (x*,y*) такая, что:

Ф(x,y) Ф(x*,y*)(x,y)R2.

Ели удаётся определить точку (x*,y*), минимизирующую функцию Ф(x,y), и если minФ(x,y) = Ф(x*,y*), значит (x*,y*) искомое решение системы (14).

Итерационная последовательность будет иметь следующий вид:

, (15)

где t = 0, 1, 2, 3, …;

– вектор, определяющий направление минимизации;

t скаляр (шаговый множитель), характеризующий длину шага.

Вектор минимизации выбирается как антиградиент функции Ф(x,y):

. (16)

Длина шага может быть постоянной на каждом итерационном шаге либо для каждого шага рассчитываться по формуле:

t =arg minФ(x(t)-Фx(x(t),y(t)), y(t)-Фy(x(t),y(t))). (17)

При минимизации функции Ф(x,y) следует определиться:

– как выбирать направление спуска;

– как регулировать длину шага в выбранном направлении с помощью скалярного параметра.

Если подобрать множитель так, что Ф(Xk+pk,Yk+qk)<Ф(Xk,Yk),

где Xk+1=Xk+pk, Yk+1=Yk+qk, это будет означать переход на каждой итерации в точку с меньшим значением минимизирующей функции.

1.8 Определение минимума функционала методом сопряженных градиентов

Цель работы: используя метод сопряженных градиентов, определить минимум функционала.

Рекомендация к выполнению задания

Программирование метода производится в среде разработки на выбор студента (Delphi, Borland C++, Turbo Pascal и т. д.).

Входные параметры программы:

n – размерность системы

a11, …, ann числовые коэффициенты исходной системы;

 – погрешность;

(x(0), y(0)) начальное приближение.

Выходные параметры программы:

– число итераций;

(x(t), y(t)) приближенное решение на итерации ;

z(x(t), y(t)) значение функции в точке приближенного решения;

rt(x(t), y(t)) невязка на каждом шаге;

(x(*), y(*)) точка минимума функционала или решение СЛАУ.

Отчет по самостоятельной работе должен содержать:

постановку задачи;

блок-схему реализации вычисления минимума функционала;

программу решения задачи.

Теоретические сведения

Задачу определения минимума функционала методом сопряженных градиентов можно рассматривать как задачу о решении системы линейных алгебраических уравнений. Рассмотрим общий случай.

Пусть нормальная n-мерная система линейных алгебраических уравнений, где А симметричная и положительно определенная матрица.

Образуем квадратичный функционал вида:

Ф(X)=(AX,X)-2(B,X)+C, (18)

где CR1 - const;

(*,*) скалярное произведение в пространстве Rn.

Задача решения нормальной системы и задача минимизации функционала (18) эквивалентны.

Пусть X* - точное решение системы , тогда:

Ф(X*)= Ф(X). (19)

Рассмотрим метод сопряженных градиентов. Введем следующие обозначения:

X(0), …, X(k) приближения к точному решению X*;

r(0), …, r(k) невязки на каждом шаге, играющие роль антиградиента функции Ф(X);

p(k) направление минимизации функционала Ф(X) в точке X(k);

k коэффициент, обеспечивающий минимум Ф(X) в направлении p(k);

k коэффициент при p(k) в формуле для вычисления p(k+1),

обеспечивающий А – сопряженность векторов p(k) и p(k+1) (т. е. p(k) ортогональны всем предыдущим невязкам r(k-1));

q(k) вспомогательный вектор.

Алгоритм метода сопряженных градиентов

Шаг 1.

Задаём X(0) начальное приближение;

>0 погрешность решения;

r(0)=B-AX(0) невязка на начальном приближении;

p(0)= r(0) направление минимизации на нулевом шаге.

Шаг 2.

Вычисляем вектор q(k)=Ap(k), k номер итерации;

вычисляем пошаговый множитель ;

вычисляем следующее приближение X(k+1)=X(k)+kp(k);

вычисляем невязку на шаге (k+1): r(k+1)=r(k)+kq(k).

Шаг 3.

Если ||r(k+1)||, то итерационный процесс останавливается и выводится решение X(k+1);

иначе

вычисляем скаляр ;

вычисляем новое направление минимизации вектор

p(k+1)=r(k+1)-kp(k);

полагаем k=k+1, переходим к Шагу 2.

2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.1 Метод Пикара

Цель работы: методом последовательных приближений найти приближенное решение дифференциального уравнения:

y = f(x). (20)

Отчет по самостоятельной работе должен содержать:

постановку задачи;

расчеты по вычислению приближенных функций с учетом начального условия;

оценку погрешности k-го приближения в области G: |x-x0|  а, |y-y0|  b.

Теоретические сведения

Итерационная формула метода Пикара при n=1, 2, … имеет вид:

. (21)

Оценка погрешности k-го приближения задаётся формулой:

, (22)

где

M=max|fy(x,y)| константа Липшица,

N верхняя грань модуля функции f: |f(x,y)|N,

величина d для определения окрестности |x-x0|d, вычисляемая по формуле: d=min(a, ).

ПРИМЕР. Методом последовательных приближений найти приближенное решение дифференциального уравнения

y =x3-2y, удовлетворяющее начальному условию y(0)=1.

Запишем для нашего уравнения итерационную формулу вида (21):

.

Выберем за начальное приближение y0=y(0)=1. Имеем:

.

Продолжая итерационный процесс, далее получаем:

;

и т. д.

Оценим погрешность третьего приближения. Для этого определим область G, в которой функция f(x,y) определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица. Зададим область G в виде неравенств:

|x-x0|  а, |y-y0|  b.

Зададим, для примера, а = 1 и b = 3. В прямоугольнике |x-0|1,

|y-1|3 функция f(x,y)=x3-2y определена и непрерывна, причем:

M=max|fy(x,y)|=2, N=max|f(x,y)|= 9.

Из формулы d=min(a, ) определяем d= . По формуле (22) оценка погрешности третьего приближения равна:

Исходные данные для лабораторной работы выбираются из таблицы 4.

Таблица 4 – Варианты лабораторной работы № 2.1

Номер варианта

f(x)

x0

y0

k

(номер последней итерации)

а

b

1

0

3

4

4

5

2

1

2

5

3

2

3

2

3

3

1

1

4

1

0

4

3

5

5

0

1

5

1

4

6

2

1

3

1

0,5

7

0

2

3

1

1

8

1

1

3

1

1

9

2

0

4

3

2

10

0

0

3

1

1

11

2

1

5

1,5

0,5

12

2

2

4

1

1

13

0

1

4

1

1

14

1

0

3

2

2

15

3

2

4

3

4

16

0

1

5

4

3

17

1

1

3

2

2

18

2

1

5

3

2

19

0

1

3

0,5

2

20

1

0

4

1,5

3

21

2

2

3

1

1

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]