Метод золотого сечения

Пусть f(x) – кусочно-непрерывна функция на a  x  b и имеет на [a, b] только один локальный минимум.

Алгоритм метода золотого сечения

Шаг 1.

Задаем функцию f(x);

задаем интервал (x₀, x₁);

задаем погрешность .

Выбираем внутренние точки на интервале:

x₂=x₀+(x₁-x₀), x₃=x₁-(x₁-x₀),

где (для метода золотого сечения ).

Шаг 2.

Для шага t: x_i, x_j, x_k, x_l.

Определяем min{f(x_i), f(x_j), f(x_k), f(x_l)}:

пусть f(x_i) < f(x_j), f(x_k), f(x_l).

Отбрасываем ту точку, которая наиболее удалена от x_i:

| x_l - x_i |>| x_j - x_i |,| x_k - x_i |.

Определяем порядок расположения точек на числовой прямой:

x_k<x_i<x_j.

Выбираем новую точку x=x_j+x_k-x_i и присваиваем ей очередной номер.

Шаг 3.

Если max|| x_j^(t)- x_k^(t) ||  , то = (x_j+x_k).

Иначе t=t+1, и переходим на шаг 2.

Замечание. Метод золотого сечения наиболее экономичен, он применим к недифференцируемым функциям, всегда сходится линейно.

Если на отрезке [a,b] несколько локальных минимумов, то он сойдется к одному из них, но не обязательно к наименьшему.

Метод парабол

Пусть функция f(x) два раза дифференцируема на интервале [a,b]. В основе метода парабол лежит условие минимума:

f(x)=0 .

Итерационный процесс метода парабол имеет вид:

. (12)

Итерационный процесс (12) является ньютоновским и вблизи экстремума с ненулевой второй производной сходится квадратично. Если f(x)=0, то сходимость будет линейной.

Для расчета f(x) и f(x) используют конечные разности. С учетом этого итерационный процесс (12) будет иметь вид: 

-  . (13)

Внимание: на каждом шаге необходимо проверять, движемся ли мы к минимуму. Вторая производная в знаменателе (12) или (13) должна быть положительной.

Если вторая производная отрицательна, т. е. итерационный процесс сходится к максимуму, следует сделать шаг в обратном направлении.

Для этого:

вычислив x^(t+1), проверяем f(x^(t+1))> f(x^(t)), если да, то приближение x^(t+1) использовать нельзя;

делаем шаг в сторону убывания f(x). Рассчитываем шаг по формуле h=(x^(t+1)-x^(t)), где  - const (например, = );

проверяем условие убывания функции. Если оно не выполняется, то  уменьшаем вдвое и делаем шаг из точки x^(t). Процесс продолжаем до тех пор, пока не добьемся убывания функции.

Замечание. Если функция имеет несколько локальных минимумов, то итерационный процесс может сойтись к любому из них.

1.6 Определение экстремумов функции многих переменных

Цель работы: используя метод покоординатного спуска, определить минимум параболоида вращения:

2pz=(x-x₀)²+(y-y₀)².

Рекомендация к выполнению задания

Программирование метода производится в среде разработки на выбор студента (Delphi, Borland C++, Turbo Pascal и т. д.).

Входные параметры программы:

X⁽⁰⁾ – ненулевое приближение;

 – погрешность.

Выходные параметры программы:

t – число итераций;

X^* – точка минимума;

F(X^*) – значение функции в точке минимума.

Отчет по самостоятельной работе должен содержать:

постановку задачи;

блок-схему реализации вычисления минимума параболоида вращения;

программу решения задачи.

Исходные данные для выполнения лабораторной работы выбираются согласно таблицы 3.

Таблица 3 – Варианты лабораторной работы № 1.5

Номер варианта	Исходная система	Номер варианта	Исходная система
1	, , ,	16	, , ,
2	, , ,	17	, , ,
3	, , ,	18	, , ,
4	, , ,	19	, , ,