Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новокузнецкий институт (филиал КемГУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

PRAVLENNAYa_Vychislitelnaya_matematika_2_chast.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2025

Размер:

2.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Введение

Проектирование, прочностной расчет современных машиностроительных конструкций и разнообразных технических систем связаны с теоретическими расчетами и исследованиями, определяющими выбор оптимальных параметров конструкций. Эти расчеты проводятся с использованием программных средств и реализованных в них численных методов или методов вычислительной математики. Решении прикладных задач, как правило, происходит поэтапно:

физическая постановка задачи,
поиск, выбор и модификация математической модели,
разработка, выбор или модификация математического метода,
составление алгоритма,
разработка программного обеспечения,
решение задачи и анализ результатов.

К классическим средствам изучения математических моделей относятся аналитические методы. Они позволяют получить точные решения в виде математических формул и дают наиболее полную информацию об объекте исследования, однако, класс задач для этих методов весьма ограничен. В настоящее время с развитием современных вычислительных машин широкое распространение получили численные методы расчета.

К численным методам принято относить методы приближенного решения задач прикладной математики, основанные на реализации алгоритмов, соответствующих математическим моделям. Эти методы, в отличие от аналитических, позволяют найти частные решения, которые определяются не в континуальных, а в дискретных областях изменения независимых переменных.

Численные методы связаны с устойчивостью, зависящей от хорошей обусловленности задачи, сходимостью, точностью решения, экономичностью, с шагом дискретизации, равномерностью разбиения, количеством итераций и т. д.

Во второй части разработанных методических указаний для выполнения лабораторного практикума по дисциплинам «Численные методы» и «Вычислительная математика» рассматриваются численные методы решения задач алгебры и численные методы решения дифференциальных уравнений.

1 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АЛГЕБРЫ

1.1 Вычисление собственных чисел и собственных векторов матриц степенным методом

Цель работы: используя степенной метод, найти наибольшее и наименьшее собственные значения матрицы и соответствующие им собственные вектора с точностью до .

Рекомендация к выполнению задания

Программирование метода производится в среде разработки на выбор студента (Delphi, Borland C++, Turbo Pascal и т.д.).

Входные параметры программы:

nn – размер исходной матрицы A;

 – погрешность;

Y⁽⁰⁾ – ненулевое приближение собственного вектора.

Примечание – в качестве входного параметра ввести ||Y⁽^t⁾|| с возможностью выбора разных вариантов расчета.

Выходные параметры программы:

t – число итераций;

_max, X__max – максимальное собственное значение и соответствующий ему собственный вектор;

_min, X__min – минимальное собственное значение и соответствующий ему собственный вектор.

Отчет по самостоятельной работе должен содержать:

постановку задачи;

блок-схему реализации вычисления собственных значений и соответствующих собственных векторов на ЭВМ;

программу решения задачи.

Теоретические сведения

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка

Определение. Число  называется собственным числом матрицы А, а ненулевой вектор Х - соответствующим ему собственным вектором, если АХ=Х, или

(А-Е)Х=0. (1)

Замечание. Для существования нетривиального решения системы (1) должно выполняться условие det(А-Е)=0, или

. (2)

Постановка задачи. Определить, для каких ненулевых векторов Х и чисел  линейное преобразование вектора с помощью матрицы А не изменяет направления этого вектора в пространстве R_n, т. е. линейное преобразование сводится к «растяжению» этого вектора в  раз?

Исходя из постановки задачи, различают:

полную проблему собственных значений, предполагающую нахождение всех пар {,X} матрицы A;

частичные проблемы собственных значений, состоящие, как правило, в нахождении одного или нескольких собственных чисел  и соответствующих им собственных векторов.

Алгоритм степенного метода

(или РМ – power method)

Шаг 1.

Задаем матрицу А;

задаем погрешность ;

задаем нулевое приближение собственного вектора Y⁽⁰⁾ и преобразуем его в единичный вектор .

Шаг 2.

Вычисляем следующую итерацию ;

вычисляем норму вектора ;

вычисляем вектор ;

вычисляем отношения координат векторов Y⁽^k⁾, X⁽^k^-1):

Шаг 3.

Если _i⁽^k⁾- _i⁽^k^-1)< ,

то _max = – среднее арифметическое всех _i⁽^k⁾,

или отношение первых компонент векторов

;

X=X⁽^k⁾ – собственный вектор.

Иначе k=k+1, и переходим на шаг 2.

Замечание. Можно применить степенной метод для нахождения наименьшего по модулю собственного числа _n, в случае если наибольшее число ₁ уже найдено.

Исходя из определения собственных значений и собственных векторов, рассмотрим следующую разность:

_ АХ_n=_nХ

_n Х_n=₁Х (3)

_________________________________ .

(A-₁E) Х_n=(_n-₁) Х_n

Таким образом, для матрицы А-₁Е существует собственная пара {L,X_n}, где L=_n-₁. Значит _n=L-₁, где |_n| – наименьшее по модулю собственное число.

1.2 Вычисление собственных чисел и собственных векторов матриц методом Якоби

Цель работы: используя метод вращения Якоби, найти все собственные значения матрицы A и соответствующие им собственные вектора с точностью до =10 ^-3.

Рекомендация к выполнению задания

Программирование метода производится в среде разработки на выбор студента (Delphi, Borland C++, Turbo Pascal и т.д.).

Входные параметры программы:

nn – размер исходной матрицы A;

проверка условия симметричности матрицы;

 – погрешность.

Примечание – в качестве входного параметра ввести возможность выбора остановки итерационного процесса.

Выходные параметры программы:

t – число итераций;

{₁, X₁} – первая собственная пара,

. . . . . . . .

{_n, X_n} – n-ая собственная пара.