Ч исловые характеристики вариационного ряда
Одной из основных характеристик ряда распределения является средняя арифметическая. Существует две формулы для расчёта средней арифметической: простая и взвешенная. Простую среднюю арифметическую используют, когда данные наблюдений не сведены в вариационный ряд или все частоты равны единице (одинаковы).
,
где хi – i-е значение признака; n – объём ряда (число наблюдений).
Если частоты отличны друг от друга, расчёт производится по формуле средней арифметической взвешенной
где хi – i-е значение признака; mi – частота i-го значения признака; k – число его значений (вариантов).
При расчёте средней арифметической в качестве весов могут выступать и частости, тогда формула расчёта средней арифметической взвешенной примет следующий вид.
где wi – частость i-го значения признака;
Колеблемость изучаемого признака можно охарактеризовать с помощью различных показателей вариации. К числу основных показателей вариации относятся: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Математическое ожидание – это числовая характеристика случайной величины, со средним арифметическим её наблюдаемых значений, которое является статистической характеристикой вариационного ряда и рассчитывается по формуле:
где рi – вероятность i-го значения признака.
Дисперсию можно рассчитать по простой и взвешенной формулам имеющим вид
;
Среднее квадратическое отклонение рассчитывается по формуле
Коэффициент вариации определяется формулой
.
Задачи на составление вариационных рядов
1) При обследовании 50 членов семей рабочих и служащих установлено следующее количество членов семьи: 5; 3; 2; 1; 4; 6; 3; 7; 9; 1; 3; 2; 5; 6; 8; 2; 5; 2; 3; 6; 8; 3; 4; 4; 5; 6; 5; 4; 7; 5; 6; 4; 8; 7; 4; 5; 7; 8; 6; 5; 7; 5; 6; 6; 7; 3; 4; 6; 5; 4. Составьте вариационный ряд распределения частот. Постройте полигон распределения частот, кумуляту. Определите среднее число членов семьи Охарактеризуйте колеблемость размера семьи с помощью показателей вариации
Объясните полученные результаты, сделайте выводы.
2) Имеются данные о еженедельном количестве проданных компьютеров одной из фирм: 398, 412, 560, 474, 544, 690, 587, 600, 613, 457, 504, 477, 530, 641, 359, 566, 452, 633, 474, 499. 580, 606, 344, 455,505, 396, 347, 441, 390, 632, 400, 582. Составьте вариационный ряд. Найдите среднее количество проданных компьютеров. Рассчитайте показатели вариации
3) Администрацию магазина интересует частота покупок калькуляторов. Менеджер в течении января регистрировал данные о покупке МК и собрал следующие данные: 8, 4, 4, 9, 3, 3, 1, 2, 0, 4, 2, 3, 5, 7, 10, 6, 5, 7, 3, 2, 9, 8, 1, 4, 6, 5, 4, 2, 1, 0, 8. Постройте вариационный ряд, определите его числовые характеристики. Какие рекомендации вы дали бы администрации универсама?
4) Число пассажиров одного из рейсов за 30 дней составило: 128, 121, 134, 118, 123, 109, 120, 116, 125, 128, 121, 129, 130, 131, 127, 119, 114, 124, 110, 126, 134, 125, 128, 123, 128, 133, 132, 136, 134, 129. Составьте вариационный ряд. Найдите среднее число пассажиров в рейсе? Рассчитайте показатели вариации. Сделайте анализ полученных результатов.
5) Имеются данные о годовой мощности предприятий в 2003 году
Предприятия с годовой мощностью, тыс.т |
Количество предприятий |
До 500 |
27 |
500 – 1000 |
11 |
1000 – 2000 |
8 |
2000 – 3000 |
8 |
Свыше 3000 |
2 |
Постройте гистограмму, кумуляту. Рассчитайте среднюю мощность предприятий. Найдите дисперсию. среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Сделайте анализ полученных результатов.
6) По данным выборочного обследования получено следующее распределение по среднедушевому доходу
Среднедушевой доход семьи в месяц, у.е. |
до 25 |
25 – 50 |
50 – 75 |
75 – 100 |
100 – 125 |
125 – 150 |
150 и выше |
Количество обследованных семей |
46 |
236 |
250 |
176 |
102 |
78 |
12 |
Постройте гистограмму, кумуляту. Рассчитайте среднюю мощность предприятий. Найдите дисперсию. среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Сделайте анализ полученных результатов.
7) Постройте гистограмму частот, найдите среднюю заработную плату работников одного из цехов «Азота»
Заработная плата, у.е |
50 – 75 |
75 – 100 |
125 – 150 |
150 – 175 |
175 – 200 |
200 - 225 |
Число работников |
12 |
23 |
37 |
19 |
15 |
9 |
Рассчитайте среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации заработной платы.
8) Продажа акций на аукционе характеризуется следующими данными:
Продажа акций в % |
9 - 15 |
15 – 21 |
21 – 27 |
27 – 33 |
Число акционерных обществ |
3 |
5 |
4 |
2 |
Постройте гистограмму распределения частот. Найдите средний процент продажи акций. Охарактеризуйте колеблемость процента продажи акций с помощью соответствующих показателей.
9) Для оценки состояния деловой активности предприятий были проведены обследования и получены следующие результаты:
-
Показатель деловой активности
0 – 8
8 – 16
16 – 24
24 - 32
Число предприятий
10
15
8
5
Постройте гистограмму распределения частот. Найдите среднее значение показателя деловой активности, дисперсию. среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Сделайте анализ полученных результатов.
10) Имеются данные о числе сделок, заключённых брокерскими фирмами:
-
Число сделок
10 – 30
30 – 50
50 – 70
70 – 90
Число фирм
20
18
12
5
Постройте гистограмму распределения частот. Найдите средне число заключённых сделок, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, размах вариации. Объясните полученные результаты.
11) В колледже собранны данные о числе часов пропущенных по неуважительной причине студентами третьего курса:
-
Число пропущенных часов в текущем месяце
0
1
2
3
4
5
Число студентов
10
27
25
28
30
17
Постройте полигон распределения частот. Найдите среднее число пропущенных дней, стандартное отклонение, коэффициент вариации. Является ли распределение симметричным?
12) Постройте гистограмму частот, найдите среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации для данных о дневной выручке в магазине электроники.
Выручка, у.е. |
0 – 200 |
200 – 300 |
300 – 400 |
400 – 500 |
500 – 600 |
600 – 700 |
Число дней |
3 |
5 |
9 |
14 |
8 |
3 |
13) Имеются данные о возрастном составе безработных по РФ:
Возраст |
16-20 |
20-24 |
25-29 |
30-49 |
50-54 |
55-59 |
60-65 |
Мужчины |
7,7 |
17,0 |
11,9 |
50,9 |
4,2 |
5,7 |
2,6 |
Женщины |
11,2 |
18,5 |
11,7 |
49,5 |
4,0 |
3,8 |
1,3 |
Найдите средний возраст безработных мужчин и женщин, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. Оцените различия показателей возрастного состава безработных мужчин и женщин. Сделайте выводы.
14) Проанализируйте данные годовых уровней прибыли трёх компаний.
Год |
Cherry Computers |
Lemon Motors |
Orange electronics |
1994 |
12,3 |
13,3 |
-10,6 |
1995 |
-16,2 |
-8,4 |
40,3 |
1996 |
15,4 |
27,3 |
5,4 |
1997 |
17,2 |
28,2 |
6,2 |
1998 |
10,3 |
14,5 |
10,2 |
1999 |
-6,3 |
-2,4 |
13,8 |
2000 |
-7,8 |
-3,1 |
11,5 |
2001 |
3,4 |
15,6 |
-6,2 |
2002 |
12,2 |
18,2 |
27,5 |
Найдите среднее значение и стандартное отклонение прибыли для каждой из компаний. Сравните результаты их деятельности за 9 лет. деятельность какой компании наиболее успешна?
15) Построить интервальный ряд, гистограмму, составить таблицу вычисления среднего арифметического, дисперсии и среднего квадратического отклонения, т. е. найти числовые характеристики или составить математическую модель различных социологических исследований.
1 |
2 5 3 4 1 3 6 2 4 3 4 1 3 5 2 3 4 4 3 3 2 5 3 4 4 3 3 4 4 3 2 5 3 1 4 3 4 2 5 6 2 3 1 6 4 3 3 2 1 7 |
2 |
17.5 17.8 18.6 18.3 19.1 19.9 20.6 22 20.1 21.4 17.5 18.5 21 19 20 22 20.6 19.1 18.6 17.9 22 19.1 17.5 22 22.6 18 21.4 19 17.8 18.3 19.9 20.1 21.4 20 18.5 20.6 18.6 21.4 21.4 21 20 18 18 17.5 18.6 19.1 20 20.6 18.6 17.5 |
3 |
4 4 3 5 2 3 3 4 4 3 2 5 3 1 4 3 4 2 6 3 1 4 3 5 2 7 7 1 2 3 3 4 3 5 1 1 3 4 4 3 2 3 4 5 6 7 1 3 3 2 |
4 |
190 191 192 194 196 198 206 202 204 200 198 193 190 220 195 215 193 201 203 215 220 195 200 195 201 198 191 193 220 199 210 205 213 200 213 210 212 215 199 201 215 199 200 203 212 212 198 215 190 200 |
5 |
45 48 54 60 58 59 47 49 57 59 64 53 57 59 49 64 58 53 49 47 48 60 53 60 62 60 63 50 45 60 55 50 47 45 63 49 45 49 47 60 62 45 55 47 59 48 53 60 54 48 |
6 |
16 21 26 31 36 41 46 19 45 18 35 37 42 20 17 18 22 33 43 19 20 29 16 46 44 16 30 26 18 30 40 46 44 21 39 40 37 32 41 40 27 21 32 41 19 44 35 16 43 37 |
7 |
1.0 2.5 2.7 3.0 3.6 4.4 1.3 2.1 5.0 4.9 6.0 1.1 2.3 5.9 3.6 1.3 3.7 4.9 5.6 1.3 2.0 4.3 1.9 4.0 3.7 5.3 4.2 2.5 2.7 3.6 4.8 6.0 1.7 2.5 4.9 3.2 4.0 4.3 2.8 3.8 1.0 4.2 4.8 4.9 5.0 1.9 2.6 1.7 6.0 5.7 |
8 |
3 3 3 5 8 6 7 4 8 8 9 5 6 4 4 3 5 5 3 6 4 3 6 7 4 4 5 3 3 8 4 7 7 9 9 3 8 4 8 5 6 6 5 8 9 3 5 6 9 9 |
9 |
1.75 1.78 1.86 1.83 1.91 1.99 2.06 2.01 2.20 2.14 1.75 1.85 2.1 1.90 2.00 2.2 2.06 1.91 1.86 1.79 1.91 2.20 1.90 1.75 2.20 2.01 2.14 1.90 1.78 1.83 1.99 2.01 2.14 1.85 2.00 2.06 2.14 2.26 1.8 2.10 2.00 1.80 1.80 1.80 1.75 1.86 1.91 2.06 1.86 |
10
|
25.6 36.7 16.0 27.9 22.6 32.0 25.2 32.0 21.5 35.0 23.0 23.4 22.1 18.0 17.0 28.8 24.4 30.0 30.1 37.0 26.7 23.1 25.3 29.0 30.8 24.0 27.0 29.6 21.0 25.7 25.8 25.0 15.0 16.0 23.5 30.8 36.5 25.3 31.5 31.7 29.0 20.5 30.4 28.5 24.7 26.2 27.4 18.0 23.4 28.5 |