1 Теоретическая часть

1.1 Транспортная задача линейного программирования.

Под названием «транспортная задача» объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Данные задачи относятся к задачам линейного программирования и могут быть решены симплексным методом. Однако матрица системы ограничений транспортной задачи настолько своеобразна, что для ее решения разработаны специальные методы. Эти методы, как и симплексный метод, позволяют найти начальное опорное решение, а затем, улучшая его, получить оптимальное решение.

1.2 Постановка транспортной задачи.

Однородный груз сосредоточен у m поставщиков в объемах a ₁ , а₂... а_m. Данный груз необходимо доставить и потребителям в объемах b₁, b₂, ..., b_n. Известны C_ij где i= 1, 2, ..., m и j = 1, 2, ..., n — стоимости перевозки единицы груза от каждого i-го поставщика каждому j-му потребителю. Требуется составить такой план перевозок, при котором запасы всех поставщиков будут вывезены полностью, запросы всех потребителей полностью удовлетворены и суммарные затраты на перевозку всех грузов минимальны.

Исходные данные транспортной задачи обычно записываются в таблицу (Таблица 1).

Таблица1

	В1	В2	…	Вn
А1	C11	C12	…	C1n
А2	C21	C22	…	C2n
…	…	…	…	…
Аm	Cm1	Cm2	…	Cmn

Исходные данные задачи могут быть представлены также в виде вектора запасов поставщиков А = (a₁, а₂,..., а_m), вектора запросов потребителей В= (b₁, b₂, ..., b_n) и матрицы стоимостей C={с_ij}

В транспортных задачах под поставщиками и потребителями понимаются различные промышленные и сельскохозяйственные предприятия, заводы, фабрики, склады, магазины. Однородными считаются грузы, которые могут быть перевезены одним видом транспорта. Под стоимостью перевозок понимаются тарифы, расстояния, время, расход топлива.

1.3 Математическая модель транспортной задачи.

Переменными (неизвестными) транспортной задачи являются x_ij где, i=1,2, ..., m, j= 1,2, ..., n — объемы перевозок от каждого i -го поставщика каждому j-му потребителю (Таблица 2).

Таблица 2

	В1	В2	…	Вn
А1	х11	х12	…	х1n
А2	х21	х22	…	х2n
…	…	…	…	…
Аm	хm1	хm2	…	хmn

Так как произведение С_ij и x_ij определяет затраты на перевозку груза от i-го поставщика j-му потребителю, то суммарные затраты на перевозку всех грузов равны . По условию задачи требуется обеспечить минимум суммарных затрат. Следовательно, целевая функция задачи имеет вид (1):

(1)

Система ограничений задачи состоит из двух групп уравнений. Первая группа из m уравнений описывает тот факт, что запасы всех m поставщиков вывозятся полностью (2):

(2)

Вторая группа из n уравнений выражает требование полностью удовлетворить запросы всех n потребителей (3):

(3)

Учитывая условие не отрицательности объемов перевозок, математическую модель задачи можно записать так (4):

(4)

В рассмотренной модели транспортной задачи предполагается, что суммарные запасы поставщиков равны суммарным запросам потребителей (5)

(5)

Такая задача называется задачей с правильным балансом, а ее модель — закрытой. Если же это равенство не выполняется, то задача называется задачей с неправильным балансом, а ее модель — открытой.