Лабораторная работа № 2 полезность и принятие решения в условиях риска

Цель – средствами электронных таблиц MS Excel исследовать модель потребления для одного товара.

Модель бизнес-ситуации. Постановка задачи

Отсутствие определенности относительно будущих событий (наличие риска) – характерная черта многих экономических процессов. В классе экономико-математических моделей принятия решений в условиях риска рассматривается несколько состояний природы m (m>1). Можно сделать предположения о вероятностях p_j наступления каждого возможного j-го состояния природы.

Ожидаемый результат, связанный с решением i, вычисляется как сумма по всем возможным состояниям j произведений платежа r_ij (результат от решения i при j-ом состоянии природы) и вероятности p_j (вероятность состояния j ). Ожидаемый результат ОР_i от принятия решения i вычисляется по формуле:

ОР_i = . (2.1)

Рассматриваем решение i*, которое максимизировало бы ожидаемый результат,

ОР_i* = максимум ОР_i по всем i. (2.2)

Чтобы измерить привлекательность или приемлемость принимаемых решений, используют функцию полезности

где х – денежная сумма, которой приписывают определенное значение полезности. Функция зависит от одного неизвестного параметра r, который определяет меру предрасположенности к риску. Чем больше значение r, тем меньше субъект (компания или индивидуум) избегает риска (т.е. он может пойти на больший риск). И, наоборот, чем меньше значение r, тем больше субъект избегает риска.

Модель газетного киоска. Продавец газетного киоска покупает газету «Харьков-модерн» по b (д.е.) за каждый экземпляр и продает их по а (д.е.). Продавец покупает газеты до того, как будет знать, сколько реально он их продаст. Если он закупит газет больше, чем сможет продать, то он понесет убытки, равные стоимости непроданных газет. Будущие потери (т.е. упущенную выгоду) продавец оценивает в с (д.е.) на одного неудовлетворенного покупателя.

Продавец оценил вероятности спроса на газеты:

p₀ – это вероятность, когда спрос равен 0 газет;

p₁ – это вероятность, когда спрос равен 1 газете;

р₂ – это вероятность, когда спрос равен 2 газетам;

р₃ – это вероятность, когда спрос равен 3 газетам.

Итак, в этой модели четыре значения спроса соответствуют четырем состояниям природы, а количество закупаемых продавцом газет (0 газет, 1 газета, 2 газеты, 3 газеты) является решением.

Формализованная постановка задачи

Дано: a = 75 д.е., b = 40 д.е., c = 50 д.е. Оценки вероятностей спроса на газеты: p₀= 0,1; p₁ = 0,3; р₂ = 0,4; р₃ = 0,2.

Требуется: определить количество закупаемых газет: 0, 1, 2 и 3, т.е. принять решение P₀ или P₁ или Р₂ или Р₃, максимизируя ожидаемый результат.

В таблице 2.1 представлены платежи для данной модели.

Таблица 2.1 – Таблица платежей для модели газетного киоска

Решение (количество закупаемых продавцом газет)	Состояния природы (спрос, количество газет)
	0	1	2	3
0	0	-50	-100	-150
1	-40	35	-15	-65
2	-80	-5	70	20
3	-120	-45	30	105

В этой таблице платежи, вычисляемые для каждой комбинации решения и спроса, определяют прибыль или упущенную выгоду, если количество закупленных газет не соответствует спросу на них. Эти платежи вычисляются по следующей формуле:

Платеж = Цена_продажи × (Количество_проданных_газет) - - Цена_покупки × (Количество_закупленных_газет) - Упущенная_выгода × (Неудовлетворенный спрос).

Рассматривая эту модель, важно понять, что количество проданных газет и спрос не являются тождественными величинами. Количество проданных газет – это минимум двух величин: количества закупленных газет (решение) и реального спроса. Тогда формула преобразуется к виду:

Платеж = Цена_продажи × Минимум ( Решение;Спрос - Цена_покупки × × (Решение) - Упущенная_выгода × Максимум(Спрос – Решение; 0).

В примере 75 д.е. – цена продажи, 40 д.е. – цена покупки и 50 д.е. – упущенная выгода.

Ставятся задачи:

1. Оформить таблицу исходных данных и результатов расчетов в приложении EXCEL. Сохранить файл.

2. Реализовать ввод данных (цены за продажу, покупку и упущенную выгоду) и финансовый исход, определяющий ожидаемую максимальную прибыль. Рассчитать полезность для всех возможных денежных платежей.

Порядок выполнения задания

1. На рабочем листе с именем „Базовый” организовать таблицу, подобную таблице 1. Вычислить ожидаемый результат (платеж) для каждого решения по формуле (2.1). Например, если закуплено два экземпляра газеты, то

ОР₂ = -80 × 0,1 - 5 × 0,3 + 70 × 0,4 + 20 × 0,2 = 22,5.

Пример оформления рабочего листа показан на рис. 2.1.

	A	B	C	D	E	F	G
1	Цена продажи	75
2	Цена покупки	40
3	Упущенная выгода	50
4
5		Состояние природы
6	Решение	0	1	2	3	Ожидаемый платеж
7	0	0	-50	-100	-150	-85
8	1	-40	35	-15	-65	-12,5
9	2	-80	-5	70	20	22,5
10	3	-120	-45	30	105	7,5
11
12	Вероятности	0,1	0,3	0,4	0,2
13

	E	F
5	Состояние природы
6	3	Ожидаемый платеж
7	=$B$1*МИН($A7;E$6)-$B$2*$A7-$B$3*МАКС(E$6-$A7;0)	=СУММПРОИЗВ(B7:E7;$B$12:$E$12)
8	=$B$1*МИН($A8;E$6)-$B$2*$A8-$B$3*МАКС(E$6-$A8;0)	=СУММПРОИЗВ(B8:E8;$B$12:$E$12)
9	=$B$1*МИН($A9;E$6)-$B$2*$A9-$B$3*МАКС(E$6-$A9;0)	=СУММПРОИЗВ(B9:E9;$B$12:$E$12)
10	=$B$1*МИН($A10;E$6)-$B$2*$A10-$B$3*МАКС(E$6-$A10;0)	=СУММПРОИЗВ(B10:E10;$B$12:$E$12)
11
12	0,2
13

Рис. 2.1. Рабочий лист для вычисления таблицы платежей и значений ожидаемых платежей

Выбрать то решение, для которого ожидаемый платеж будет наибольшим. В примере оптимальное – решение 2.

2. Создать новый рабочий лист с именем „Профили рисков”. Получить графическое решение задачи, используя построение диаграмм типа ГИСТОГРАММА. Сравнить графическое и табличное решение задачи.

На практике нахождение оптимального решения заключается в сравнении графиков профилей рисков. Профиль риска показывает для конкретного решения все возможные выходы (значения платежей) с соответствующими вероятностями, что позволяет менеджеру сортировать возможные выходы в соответствии со своими критериями или предпочтениями. На рис. 2.2 показаны профили рисков для четырех решений рассматриваемой задачи.

На оси Х значения платежей изменяются от минимального (в примере это значение -150) до максимального (в примере 105). По оси Y отложены значения вероятностей спроса.

На рис. 2.2 видно, что все четыре возможных выхода для „Решение 0” меньше или равны нулю (т.е. при этом решении возможны лишь одни убытки). В „Решение 1” три из четырех выходов отрицательны, а в „Решение 2” и „Решение 3” отрицательна половина выходов. Из профилей рисков также видно, что в „Решение 2” наибольшую возможную вероятность (0,4) имеет второй по величине положительный платеж (70 д.е.).

Рис. 2.2. Профили рисков для модели газетного киоска

3. Сделать анализ чувствительности изменения упущенной выгоды.

Решения в модели газетного киоска базируются на значениях прибыли и упущенной выгоды, которые определяются менее точно, чем два других параметра модели – цена приобретения газеты и отпускная (розничная) цена. Возникает вопрос: каким может быть о птимальное решение, если изменится значение упущенной выгоды?

Один из способов анализа чувствительности заключается в задании разных значений упущенной выгоды, пересчете таблицы платежей, повторном вычислении ожидаемых платежей и выборе на их основе нового оптимального решения.

С помощью таблиц подстановки Excel организовать таблицу расчета ожидаемых платежей для каждого решения в зависимости от величины упущенной выгоды.

Создать новый лист в той же рабочей книге, дать ему название „Анализ чувствительности”. Значения упущенной выгоды будем изменять от 0 до 150 д.е. с шагом в 5 д.е. Для создания таблицы подстановки выполнить следующие действия:

1. Скопировать данные с рабочего листа „Базовый” на лист „Анализ чувствительности”.

2. Ввести значение 0 (начальное значение упущенной выгоды) в ячейку А16.

1. Выделить ячейку А16 и выполнить команду Правка, Заполнить, Прогрессия, чтобы продолжить ввод последовательности от 0 до 150 с шагом 5.

3. В ячейку В15 ввести формулу =F7, которая даст значение ожидаемого платежа для решения, при котором газета не закупается совсем (решение 0). В ячейки С15:Е15 ввести формулы =F8, =F9 и =F10, которые дадут значения ожидаемых платежей для решений 1, 2 и 3 соответственно.

4. В ыделить диапазон А15:Е46 и выполнить команду Данные, Таблица подстановки. В диалоговом окне Таблица подстановки в поле Подставлять значения по строкам в: ввести $В$3, как показано на рис. 2.3. Это означает, что значения, введенные в столбце А, следует подставить в ячейку ВЗ (по одному значению за один раз), пересчитать формулы в диапазоне F7:F10 и вычисленные значения поставить в столбцы B, С, D и E соответственно.

Рис. 2.3. Создание таблицы подстановки Рис. 2.4. График для анализа

чувствительности

Полученные в таблице подстановки результаты представить в графическом виде, для чего использовать мастер построения диаграмм Excel.

Для примера на рабочем листе „Анализ чувствительности” должен появиться график, показанный на рис. 2.4. На построенном графике видно, что при возрастании значения упущенной выгоды ожидаемые платежи убывают (для решений 0, 1 и 2) или остаются постоянными (для решения 3). Если значение упущенной выгоды меньше 125 д.е., то оптимальным будет решение 2. Для значения упущенной выгоды 125 д.е. оптимальными будут решение 2 и 3. Если значение упущенной выгоды больше 125 д.е., то оптимальным будет решение 3. Таким образом, нет необходимости знать точное значение упущенной выгоды – чтобы определить оптимальное решение достаточно знать, будет ли оно больше или меньше 125 д.е.

4. Рассчитать полезность для всех возможных денежных платежей.

Исходя из практических соображений продавец определяет r = 100 (д.е.) для функции полезности

.

На основе построенной функции полезности продавец газет создает новую таблицу, где вместо денежных платежей приведены их значения полезности. Нахождение оптимального решения заключается в вычислении ожидаемых значений результата (полезности) для каждого решения и выборе того решения, для которого ожидаемое значение будет наибольшим.

Для создания рабочего листа „Полезность” необходимо выполнить следующие действия:

1. В той же рабочей книге вставить новый лист с именем „Полезность”.

2. Скопировать данные с рабочего листа „Базовый” на лист „Полезность”.

3. Ввести в ячейку А14 текст R= , а в ячейку В14 – значение 100 (значение параметра r). Изменить формулу в ячейке В7 на =1-ЕХР(-Базовый!В7/$В$14) и скопировать ее в диапазон В7:Е10.

4. В ячейку А17 ввести минимальное значение платежа (в примере -150). Выделить ячейку А17 и выполнить команду Правка, Заполнить, Прогрессия. В открывшемся диалоговом окне Прогрессия установить переключатель Расположение по столбцам, ввести шаг 5 и предельное значение – максимальный платеж (в примере 105). Нажать на кнопку ОК.

5. Ввести в ячейку В17 формулу =1-ЕХР(-А17/$В$14) и скопировать ее вниз (до последнего x).

6. На основе данных диапазона А17:В68 с помощью мастера диаграмм построить график функции полезности.

Пример оформления рабочего листа „Полезность” показан на рис. 2.5.

В столбце F показаны ожидаемые значения полезности для каждого возможного решения. Максимальное значение имеет решение 2 (ожидаемое значение полезности равно 0,10), поэтому в данном случае для продавца газет оптимальным будет это решение, что совпадает с решением, полученным ранее. Однако так бывает далеко не всегда. Это скорее исключение из правила – обычно решения, принимаемые на основе критерия максимума ожидаемых значений денежных платежей, не совпадают с решениями, полученными на основе функции полезности.

Сделать выводы об оптимальной продаже газет.

Сохранить файл.

	A	B	C	D	E	F	G	H
5			Состояния природы
6	Решения	0	1	2	3	Ожидаемый платеж
7	0	0	-0,65	-1,72	-3,48	-1,58
8	1	-0,49	0,30	-0,16	-0,92	-0,21
9	2	-1,23	-0,05	0,50	0,18	0,10
10	3	-2,32	-0,57	0,26	0,65	-0,17
11
12	Вероятности	0,1	0,3	0,4	0,2
13
14	R=	100
15
16	x	Полезность(x)
17	-150	-3,482
18	-145	-3,263
19	-140	-3,055
20	-135	-2,857
21	-130	-2,669

	A	B	E	F
5
6	Решения	0	3	Ожидаемый платеж
7	0	=1-EXP(-Базовый!B7/$B$14)	=1-EXP(-Базовый!E7/$B$14)	=СУММПРОИЗВ(B7:E7;$B$12:$E$12)
8	1	=1-EXP(-Базовый!B8/$B$14)	=1-EXP(-Базовый!E8/$B$14)	=СУММПРОИЗВ(B8:E8;$B$12:$E$12)
9	2	=1-EXP(-Базовый!B9/$B$14)	=1-EXP(-Базовый!E9/$B$14)	=СУММПРОИЗВ(B9:E9;$B$12:$E$12)
10	3	=1-EXP(-Базовый!B10/$B$14)	=1-EXP(-Базовый!E10/$B$14)	=СУММПРОИЗВ(B10:E10;$B$12:$E$12)
11
12	Вероятности	0,1	0,2
13
14	R=	100
15
16	x	Полезность(x)
17	-150	=1-EXP(-A17/$B$14)
18	-145	=1-EXP(-A18/$B$14)
19	-140	=1-EXP(-A19/$B$14)
20	-135	=1-EXP(-A20/$B$14)
21	-130	=1-EXP(-A21/$B$14)

Рис. 2.5. Рабочий лист „Полезность”

Варианты значений входных параметров

№ варианта	Цена продажи д.е.	Цена покупки д.е.	Упущенная выгода д.е.	р0	р1	р2	р3
1	35	10	25	0,1	0,2	0,3	0,4
2	39	13	26	0,2	0,1	0,4	0,3
3	43	16	27	0,3	0,2	0,1	0,4
4	47	19	28	0,4	0,3	0,2	0,1
5	51	22	29	0,1	0,4	0,3	0,2
6	55	25	30	0,2	0,1	0,4	0,3
7	59	28	31	0,1	0,3	0,2	0,4
8	63	31	32	0,2	0,1	0,6	0,1
9	67	34	33	0,3	0,2	0,1	0,4
10	71	37	34	0,4	0,3	0,2	0,1
11	75	40	35	0,1	0,4	0,3	0,2
12	79	43	36	0,2	0,3	0,1	0,4
13	83	46	37	0,1	0,2	0,3	0,4
14	87	49	38	0,2	0,1	0,4	0,3
15	91	52	39	0,3	0,2	0,1	0,4
16	95	55	40	0,4	0,3	0,2	0,1
17	99	58	41	0,1	0,4	0,3	0,2
18	103	61	42	0,1	0,2	0,4	0,3
19	107	64	43	0,1	0,2	0,3	0,4
20	111	67	44	0,2	0,1	0,4	0,3
21	115	70	45	0,3	0,2	0,1	0,4
22	119	73	46	0,4	0,3	0,2	0,1
23	123	76	47	0,1	0,4	0,3	0,2
24	127	79	48	0,1	0,2	0,4	0,3
25	131	82	49	0,1	0,6	0,1	0,2
26	135	85	50	0,2	0,1	0,3	0,4
27	139	88	51	0,3	0,1	0,4	0,2
28	144	91	52	0,1	0,2	0,4	0,3
29	149	94	53	0,1	0,3	0,4	0,1
30	153	97	54	0,2	0,1	0,3	0,4