3. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Если известны вероятности данных событий А₁, А₂, ... А_n, то на основе теорем сложения и умножения вероятностей можно найти вероятность любого события, полученного из данных с применением операций сложения, умножения событий и противоположного события.

Прежде чем рассматривать теоремы сложения и умножения, определим основные понятия.

Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться вместе в результате испытания. Если события могут появляться одновременно в данном опыте, то они называются совместными.

Например, при бросании одной монеты события А= "Выпадение орла" и В= "Выпадение решки" вместе произойти не могут, поэтому они несовместны. Если изменить условия опыта и бросить две монеты, то события АиВ будут совместными.

Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности наступления другого. В противном случае события называются зависимыми, а вероятность каждого из них, найденная при условии, что другое событие произошло, называется условной вероятностью и обозначается Р(А/В), Р(В/А).

Например, в урне находится 3 синих и 4 зеленых шара. Событие А заключается в том, что из урны вынули синий шар, событие В состоит в том, что из урны вынули зеленый шар. Если вынутый синий шар не был возвращен назад в урну до того, как был вынут зеленый шар, то события А и В будут зависимыми, так как вероятность события В, вычисленная по формуле классической вероятности, в данном случае будет равна 4/6, и эта вероятность отлична от вероятности события 4/7, то есть события зависимы.

Если же вынутый синий шар был возвращен назад, а затем вынут зеленый, то Р(В/ А) = Р(В) . И в этом случае события будут независимыми.

Сформулируем теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теорема 3.1. Вероятность противоположного события получается в результате вычитания из 1 вероятности события А, то есть

. (3.1)

Теорема 3.2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

. (3.2)

Пример 1. Студенты Симонов и Миронов хорошо занимались по математике в течение года. Однако перед экзаменом студенту, как всегда, не хватает одного дня. Симонов и Миронов пришли на экзамен, подготовив каждый 22 теоретических вопроса и 24 практических из 25-ти. Преподаватель решил поощрить студентов за хорошую учебу и предложил Симонову ответить на теоретический вопрос, а Миронову – решить задачу. Какова вероятность того, что Симонов сдаст экзамен, а Миронов не сдаст?

Решение. Введем в рассмотрение события:

А - Симонов сдал экзамен;

В - Миронов сдал экзамен.

По классической формуле вероятности находим P(A)= , Р(В) = . Отсюда вероятность события , заключающегося в том, что Миронов не сдал экзамен, равна . События A и независимы, поэтому

Теорема 3.3. Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло, то есть.

. (3.3)

Пример 2 Из группы туристов в 36 человек, среди которых одинаковое число мужчин и женщин, случайным образом выбирают двоих. Какова вероятность того, что оба выбранных человека будут мужчинами?

Решение. Рассмотрим события:

А – первый выбранный человек мужчина;

В – второй выбранный человек мужчина.

По формуле классической вероятности Р(А)= .В данной задаче событие В зависит от А и . Отсюда .

Теорема 3.4. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, то есть

. (3.4)

Пример 3. В агентстве на 15 число в наличии 7 путевок в Тунис, 3 – в Испанию и 2 – в Италию. Клиент берет одну путевку. Какова вероятность того, что это будет путевка в Европу?

Решение. Введем в рассмотрение события:

А – клиент выбрал путевку в Тунис;

В – клиент выбрал путевку в Испанию;

С – клиент выбрал путевку в Италию.

Событие В+С означает, что выбрана путевка в Испанию или Италию вынут. Поскольку события В и С несовместны, то Р(В + С) = Р(В) + Р(С) .

По формуле классической вероятности . Следовательно .

Теорема 3.5. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:

. (3.5)

Пример 4. В урне находится 10 шаров, занумерованных числами от 11 до 20. Из урны наугад извлекают шар. Найти вероятность того, что номер извлеченного шара окажется кратным 2 или 3.

Решение. Введем в рассмотрение события:

А – номер извлеченного шара кратен 2 (числа 12, 14, 16, 18, 20). Общее число благоприятных исходов равно 5, тогда .

В – номер шара кратен 3 (числа 12, 15, 18) и .

События А и В совместны (номера 12 и 18 подходят для обоих событий), поэтому .