12.Свойства двойственных оценок и их использование для анализа оптимальных решений.
1.Величина двойственной оценки того или иного ресурса показывает насколько возросло бы максимальное значение ЦФ, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу. (двойственные оценки измеряют эффективность малых приращений объемов ресурсов в конкретных условиях данной задачи). Это свойство позволяет выявить основные направления расшивки узких мест в производственной деятельности. 2.Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов в отношении принятого в задаче показателя эффективности. Оценки показывают, какие ресурсы являются более дефицитными (они будут иметь самые высокие оценки), какие менее дефицитны и какие совсем не дефицитны. 3.Двойственные оценки позволяют определять нормы заменяемости ресурсов (предполагается неабсолютная заменяемость, а относительная, т.е. заменяемость с точки зрения критерия оптимальности). 4.Двойственные оценки служат инструментом определения эффективности отдельных хозяйственных решений. С их помощью можно определять выгодность производства новых изделий, эффективность новых технологических способов. ЕСЛИ ∆j = ∑ AijYi*- Cj ≤ 0 то выгодно, ЕСЛИ ∆j > 0 то невыгодно.
13. Классическая задача оптимизации, метод получения решения (метод множителей Лагранжа).
Задача нелинейного программирования формулируется так же, как и общая задача оптимального программирования, т.е. в виде max (min) f(x1, x2,…,xn), g (x1, x2,…, xn) ≤,=,≥ b , i=1,m, x ≥ 0, j=1,n, со следующими требованиями к ЦФ и допустимой области: ЦФ f(X) = f (x1, x2,…, xn) или (и) хотя бы одна из функций g (x1, x2,…, xn), i=1,m яв-ся нелинейными. Особое место занмают задачи типа max (min) Z = f (x1, x2,…, xn) (1), g (x1, x2,…, xn) = 0, i=1,m (2), для решения к-рых можно воспользоваться классическим методом оптимизации Лагранжа, или методом разрешающих множителей. При этом предполагают, что функции f и g (i=1,m) непрерывны вместе со своими первыми частными производными. В основе метода Лагранжа решения классической задачи оптимизации (1), (2) лежит утверждение, что если Z = f (x1, x2,…, xn) в точке X = (x1, x2,…, xn) имеет экстремум, то сущ. такой вектор (λ1, λ2,…, λm), что точка (x1, x2,…, xn, λ1, λ2,…, λm) яв-ся решением с-мы.
15.Канонический вид злп
ЗЛП
назыв заданной в каноническом виде,
если система ограничений ее явл системой
ур-ний с неотриц правыми частыми. Любое
нер-во можно привести к ур-нию путем
введения в него любой дополнительной
неотрицательной переменной.
xj>=0;
j=1
16.Постановка и экономико-математическая модель закрытой транспортной задачи.
Имеется m пунктов производства однородного продукта с объемами производства A1,A2,…,Am. Имеется n пунктов потребления этого продукта с объемами потребления b1,b2,…,bn. Известны оценки С= (Cij) M*N транспортных затрат на перевозку единицы груза от i-того поставщика к j-тому потребителю (по коммуникации от i к j). Надо так прикрепить потребителей к поставщикам, чтобы минимизировать суммарные транспортные затраты на перевозку груза. ЭММ ТЗ: Обозначим через Xij, i=1,m j=1,n объемы перевозок по коммуникации i→j, т.е. в рассмотрение вводится матрица X=(Xij)m*n.
Min ∑ ∑ Cij Xij
∑ Xij = Ai, i=1,m
∑ Xij = Bj, j=1,n
Необходимым и достаточным условием разрешимости задачи является наличие баланса между спросом и предложением ∑Ai = ∑Bj. Если имеется такое равенство, то ТЗ называется закрытой.
КЗЛП – запись с использованием знаков суммирования:
max (min) f(x1,x2,…,xn)=cjxj,
найти при ограничениях:
aijxj=bi, i=1,2,m; xj≥0, j=1,2,n; bi≥0, i=1,2,m
Векторная запись КЗЛП:
max (min) f(x1,x2,…,xn)=f (X)=CX,
A1x1+A2x2+…+Anxn=B, X≥0,
Где: C=(c1,c2,cn), X=(x1,x2,xn);
CX-скалярное произведение векторов C и X;
A1,A2,An – вектор-столбцы.
Матричная запись:
max (min) f (X)=CX, AX=B, X≥0.
Где С=(c1,c2,cn) – матрица-строка;
X, B – матрица-столбец;
A=(aij) – матрица размерности m*n, столбцами которой явл. Вектор-столбцы A1, A2, An.
Стандартная форма записи:
max (min) f (X)=CX, AX≥(≤)B (соотв. компонентов слева и справа), X≥0
Любую ЗЛП можно привести к КЗЛП путем введения в левую часть соотв. ограничения вида
k-й доп. (вспомогат.) переменной Xn+k≥0 со знаком «-», если «≥» и «+», если «≤». Если на некоторую переменную Xp не накладывается условие неотр., то делает замену переменных Xp=X1p-X2p, X1p≥0 , X2p≥0. В преобразованной задаче все переменные неотр.