7. Частотная характеристика лис-системы. Спектры сигналов. Преобразование Фурье.

Для непрерывного времени комплексная экспонента имеет вид: . Дискретная экспонента получается из непрерывной дискретизацией: , где – безразмерная частота.

Пусть на вход дискретной ЛПП-системы поступает последовательност , тогда выходная последовательность запишется в виде: .

называется частотной характеристикой дискретной ЛПП-системы. Она задает коэффициент передачи ЛПП-системы при входном сигнале – комплексной экспоненте для каждого значения ее частоты . Для устойчивой системы частотная характеристика определена всегда. Является прямым преобразованием Фурье функции дискретного аргумента (т.е. последовательности) .

Найдем импульсную характеристику по частотной: .

Вычислим интеграл: . Подставив результат в предыдущую формулу, получим свертку: , откуда .

Последняя формула называется обратным преобразованием Фурье функции дискретного аргумента . Частотная характеристика последовательности есть спектр ее импульсной характеристики.

Спектр выходной последовательности с учетом ее выражения через свертку запишется в виде:

Следовательно, частотная характеристика однозначно связывает спектры входной и выходной последовательностей, и, как и импульсная характеристика, исчерпывающе описывает систему с точки зрения преобразования сигналов.

8. Свойства спектров последовательностей

Свойство 1. Достаточным (но не необходимым!) условием существования спектра последовательности является абсолютная сходимость ряда , то есть: . При выполнении этого условия спектр есть непрерывная функция частоты . Если же оно не выполняется, то ряд либо расходится и спектр неопределен, либо сходится условно, и спектр существует, хотя возможно не для всех значений частот, и может иметь разрывы.

Свойство 2. Спектр последовательности – периодическая функция частоты с периодом : для любого целого .

Свойство 3. Если – вещественная последовательность, то и – четные функции, а и – нечетные.

ЛПП-система с импульсной характеристикой вида называется идеальным фильтром низких частот дискретного времени, который удаляет из входного сигнала все спектральные составляющие в диапазоне частот . Такая система не является ни устойчивой, ни физически реализуемой.

Свойство 4. Преобразование Фурье линейно: для любых последовательностей и и из соотношения следует .

Свойство 5. Сдвиг последовательности соответствует умножению ее спектра на комплексную экспоненту, а именно, если , то .

Свойство 6. Инверсия времени последовательности соответсвует инверсии частоты в спектре, т.е. для выполняется .

Свойство 7. Спектр свертки последовательностей есть произведение их спектров, т.е. если , то

Свойство 8. Спектр произведения последовательностей есть свертка их спектров т.е. если , то . Обычно показывается обратное, то есть из находят и убеждаются, что .

9. Соотношение между спектрами непрерывных и дискретных сигналов. Эффект наложения спектров.

Преобразование Фурье для непрерывных сигналов: и .

Для дискретных с временным масштабом: и .

Установим связь выражений и . Для этого перейдем от непрерывного сигнала к последовательности

Сравнивая полученный результат с , получаем соотношение между дискретным и непрерывным спектрами: . Таким образом, спектр дискретного сигнала состоит из суммы бесконечного числа спектров непрерывного сигнала, сдвинутых друг относительно друга на .

Если спектр непрерывного сигнала ограничен по полосе частотой , т.е. при , то в диапазоне , определяющем один период спектра последовательности, .

Если же это ограничение не выполняется, то возникает эффект наложения спектров: высокочастотные составляющие спектра непрерывного сигнала попадают в область более низких частот в спектре последовательности.

Этот эффект всегда нежелателен, поскольку из-за него теряется взаимно однозначная связь спектров; часть информации, содержащейся в непрерывном сигнале, необратимо теряется при дискретизации.

Эффекта наложения можно избежать, если дискретизировать непрерывный сигнал с достаточно высокой скоростью: для выполнения неравенства нужно, чтобы верхняя частота в спектре непрерывного сигнала была меньше , или, соответственно, шаг дискретизации . Это неравенство представляет собой ограничение, налагаемое на шаг дисретизации непрерывного сигнала известной теоремой Котельникова.