3) Ваша матрица

Знак	№	A1	A2	A3	A4
+	1	-2	1	3	2
	2	3	0	-1	2
	3	-5	2	3	0
	4	4	-1	2	-3

Занулили элементы в 1-ом столбце под 1-ым элементом

Знак	№	A1	A2	A3	A4
+	1	-2	1	3	2
	2	0	1.5	3.5	5
	3	0	-0.5	-4.5	-5
	4	0	1	8	1

Занулили элементы в 2-ом столбце под 2-ым элементом

Знак	№	A1	A2	A3	A4
+	1	-2	1	3	2
	2	0	1.5	3.5	5
	3	0	0	-3.333333333333333	-3.333333333333333
	4	0	0	5.666666666666666	-2.3333333333333335

Занулили элементы в 3-ем столбце под 3-им элементом

Знак	№	A1	A2	A3	A4
+	1	-2	1	3	2
	2	0	1.5	3.5	5
	3	0	0	-3.333333333333333	-3.333333333333333
	4	0	0	0	-8

Перемножили элементы главной диагонали

Знак	№	A1	A2	A3	A4
+	1	-2	1	3	2
	2	0	1.5	3.5	5
	3	0	0	-3.333333333333333	-3.333333333333333
	4	0	0	0	-8

(-2) * 1.5 * (-3.333333333333333) * (-8) = -80

БИЛЕТ 25

1)ЕДИНИЧНАЯ МАТРИЦА [unit matrix, identity matrix] — такая квадратная матрица, у которой все элементы поглавной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу, — единицы, а остальные — нули, напр.:

2) Симплекс-метод — алгоритм решения оптимизационной задачи линейного программирования путём перебора вершин выпуклого многогранника в многомерном пространстве. Метод был разработан математиком Джорджом Данцигом в 1947 году.

Модифицированный симплекс-метод

В модифицированном методе матрица

не пересчитывается, хранится и пересчитывается только матрица  . В остальном алгоритм похож на вышеописанный.

1. Вычисляем двойственные переменные 

2. Проверка оптимальности.   преобразуется в  .

Проверка заключается в вычислении   для всех столбцов  . Столбец со значением < 0 можно вводить в базис.

Часто выбирают минимальное значение, но для этого нужно перебрать все столбцы.

Чаще выбирают значение, меньшее некоторого заданного значения 

Если такого столбца не обнаружится, за   принимается максимальное найденное абсолютное значение и соответствующий столбец   вводится в базис.

3. Определение выводимого.

Пусть   - вводимый столбец, соответствующий переменной   Базиный план - это решение системы   Увеличиваем  .

Умножим слева на , т.е.  .

Здесь   - базисный план,   - разложение вводимого столбца по базису.

Находим максимальное значение  , при котором все значения не отрицательны. Если   может быть взято как угодно велико, решение не ограничено. В противном случае один из элементов выйдет на нулевое значение. Выводим соответствующий столбец из базиса.

4. Пересчет опорного(базисного) плана.

Вычисляем новый опорный план по уже приведенной формуле   с найденным значением  .

5. Пересчитываем обратную к базисной  .

Пусть   - выводимый столбец.

Матрица B представима в виде 

где   - базисная матрица без выводимого столбца.

После замены столбца базисная матрица будет иметь вид 

Нам нужно найти матрицу  , такую что

 =>   =>   =>

Откуда 

Замечание.

При пересчете матрицы   накапливаются ошибки округления. Во избежание получения больших ошибок время от времени матрица пересчитывается полностью. Этот процесс называется "повторением".

3) Задание. Для матрицы   найти обратную методом присоединенной матрицы.

Решение. Приписываем к заданной матрице   справа единичную матрицу второго порядка:

От первой строки отнимаем вторую (для этого от элемента первой строки отнимаем соответствующий элемент второй строки):

От второй строки отнимаем две первых:

Первую и вторую строки меняем местами:

От второй строки отнимаем две первых:

Вторую строку умножаем на (-1), а к первой строке прибавляем вторую:

Итак, слева получили единичную матрицу, а значит матрица, стоящая в правой части (справа от вертикальной черты), является обратной к исходной.

Таким образом, получаем, что 

Ответ. 

Билет № 26

1) Дать правило расчета определителя матрицы размерности 2 х 2

Вычисления определителей второго порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы   второго порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали:

Пример

Задание. Вычислить определитель второго порядка 

Решение. 

Ответ. 

2) Привезти пример для задачи линейного программирования. Необходимо привести задачу к каноническому виду.

 F=4x₁+3x₂-x₃ → min

5x₁-2x₂≥7

-6x₁+2x₃≤10

Изменим знаки коэффициентов целевой функции на противоположные, и перейдем тем самым к поиску max. Изменим знаки коэффициентов первого условия на противоположные т. к. это условие со знаком "≥", и добавим в него дополнительную переменную x₄. Знаки второго условия оставим без изменения, добавив к нему дополнительную переменную x₅.

F=-4x₁-3x₂+x₃ → max

-5x₁+2x₂+x₄=7

-6x₁+2x₃+x₅=10

3) Найти обратную матрицу для 

Решение. Шаг 1. Находим определитель: 

Шаг 2. 

Шаг 3. 

Ответ. 

Билет № 27

1) Привести свойство матриц, имеющих определитель, не равный нулю. Свойства опрераций над матрицами

A+B=B+A

(A+B)+C=A+(B+C)

m(A+B)=mA+mB

A(m+n)=mA+nA

(A+B)C=AC+BC

A(BC)=(AB)C

m(AB)=(mA)B=A(mB)

(A^T)^T=A

(A^-1)^T=(A^T)^-1

(A+B)^T=A^T+B^T

(AB)^T =B^TA^T

(λA)^T=λ(A)^T

Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, когда ее строки становятся столбцами с теми же номеромами.

Транспонированную матрицу обозначают A^T или A'

Обратная матрица А^-1

2) Привести запись задачи линейного программирования на минимум в стандартной форме. В стандартной форме задача линейного программирования является задачей на максимум (минимум) линейной целевой функции. Система ограничений ее состоит из одних линейных неравенств типа « <= » или « >= ». Все переменные задачи неотрицательны.

Задача ЛП в стандартной форме с  m ограничениями и n  переменными имеет следующий вид:

максимизировать или минимизировать 

при ограничениях:

.

3)  Найти обратную матрицу к матрице

Билет № 28

1) Дать определение матрицы. Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы[1], в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими. Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами. Для матрицы определены следующие алгебраические операции: сложение матриц, имеющих один и тот же размер; умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую строк); в том числе умножение на матрицу вектора (по обычному правилу матричного умножения; вектор является в этом смысле частным случаем матрицы); умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (то есть скаляр).

Матрицей А размера m x n называется прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, состоящая из чисел или иных математических выражений aij (называемых элементами матрицы), Первый индекс (i) указывает номер строки, а второй (j) –номер столбца, на пересечении которых стоит элемент aij.

Коротко матрицу обозначают так: A=(aij)

Пример 1: - матрица (2х3), ее элементы a11=1, a12=x, a13=3, a21=-2y .

Размер матрицы записывается так: (m x n).

Векторы можно рассматривать, как частные случаи матриц. Например, n-мерная вектор-строка, является матрицей размера (1 х n), а m -мерный вектор-столбец – матрицей (m x 1).

- вектор-строка, - вектор-столбец.

Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица, в которой число строк равно числу столбцов (m=n), размерность – (n x n).

Прямоугольной матрицей называется матрица, в которой число строк и столбцов не совпадают

2) Пример для задачи линейного программирования. Продукцией городского молочного завода являются молоко, кефир и сметана, расфасованные в бутылки. На производство 1 т молока, кефира и сметаны требуется соответственно 1010, 1010 и 9450 кг молока. При этом затраты рабочего времени при разливе 1 т молока и кефира составляют 0,18 и 0,19 машино-часов. На расфасовке 1 т сметаны заняты специальные автоматы в течение 3,25 часов. Всего для производства цельномолочной продукции завод может использовать 136000 кг молока. Основное оборудование может быть занято в течение 21,4 машино-часов, а автоматы по расфасовке сметаны – в течение 16,25 часов. Прибыль от реализации 1 т молока, кефира и сметаны соответственно равна 30, 22 и 136 руб. Завод должен ежедневно производить не менее 100 т молока, расфасованного в бутылки. На производство другой продукции не имеется никаких ограничений.

Требуется определить, какую продукцию и в каком количестве следует ежедневно изготовлять заводу, чтобы прибыль от ее реализации была максимальной. Составить математическую модель задачи.

Решение. Предположим, что молочный завод будет ежедневно производить x1 тонн молока, х2 тонн кефира и х3 тонн сметаны. Тогда ему для изготовления этой продукции необходимо кг молока.

Так как завод может использовать ежедневно не более 136000 кг молока, то должно выполняться неравенство

Аналогичные рассуждения, проведенные относительно возможного использования линий разлива цельномолочной продукции и автоматов по расфасовке сметаны, позволяют записать следующие неравенства:

Так как ежедневно должно вырабатываться не менее 100 т молока, то . Далее, по своему экономическому смыслу переменные х2 и х3 могут принимать только лишь неотрицательные значения : Общая прибыль от реализации x1 тонн молока, х2 тонн кефира и х3 тонн сметаны равна руб. Таким образом, приходим к следующей математической задаче. Дана система

(4)

четырех линейных неравенств с тремя неизвестными x1, х2, х3 и линейная функция относительно этих же переменных

(5) требуется среди всех неотрицательных решений системы неравенств (4) найти такое, при котором функция (5) принимает максимальное значение. Так как система (4) представляет собой совокупность линейных неравенств и функция (5) линейная, то исходная задача является задачей линейного программирования.