1) Привести запись системы линейных неравенств в матричном виде.

Рассмотрим систему уравнения   МАТРИЦА СИСТЕМЫ МАТРИЦЫ СТОЛБЦОВ ИЗВЕСТНЫХ ЧЛЕНОВ.  Очевидно что Тогда АХ=С.   Такое неравенство называется матричным уравнением. 2) Привести формулу Эйлера для однородных функций. Однородные функции обладают рядом интересных свойств. Одно из них – так называемое тождество Эйлера для однородной функции f(x1, x2, …, xn) степени однородности k: ; здесь  – частная производная функции f по переменной хi, i = 1, 2, …, n.

3)Найти алгебраическое дополнение к элементу определителя

 .

Ответ. 

Билет № 21

1) Привести правило сложения матриц.

Сложение: операция сложения матрицы вводится только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц   и   называется матрица   такая, что     , например,

,   ,

тогда

.

2) Каковы основы симплекс-метода? Симплекс-метод является основным в линейном программировании. Решение задачи начинается с рассмотрений одной из вершин многогранника условий. Если исследуемая вершина не соответствует максимуму (минимуму), то переходят к соседней, увеличивая значение функции цели при решении задачи на максимум и уменьшая при решении задачи на минимум. Таким образом, переход от одной вершины к другой улучшает значение функции цели. Так как число вершин многогранника ограничено, то за конечное число шагов гарантируется нахождение оптимального значения или установление того факта, что задача неразрешима.

Этот метод является универсальным, применимым к любой задаче линейного программирования в канонической форме. Система ограничений здесь - система линейных уравнений, в которой количество неизвестных больше количества уравнений. Если ранг системы равен r, то мы можем выбрать r неизвестных, которые выразим через остальные неизвестные. Для определенности предположим, что выбраны первые, идущие подряд, неизвестные X₁, X₂, ..., X_r. Тогда наша система уравнений может быть записана как

Симплекс-метод основан на теореме, которая называется фундаментальной теоремой симплекс-метода. Среди оптимальных планов задачи линейного программирования в канонической форме обязательно есть опорное решение ее системы ограничений. Если оптимальный план задачи единственен, то он совпадает с некоторым опорным решением. Различных опорных решений системы ограничений конечное число. Поэтому решение задачи в канонической форме можно было бы искать перебором опорных решений и выбором среди них того, для которого значение F самое большое. Но, во-первых, все опорные решения неизвестны и их нужно находить, a, во-вторых, в реальных задачах этих решений очень много и прямой перебор вряд ли возможен. Симплекс-метод представляет собой некоторую процедуру направленного перебора опорных решений. Исходя из некоторого, найденного заранее опорного решения по определенному алгоритму симплекс-метода мы подсчитываем новое опорное решение, на котором значение целевой функции F не меньше, чем на старом. После ряда шагов мы приходим к опорному решению, которое является оптимальным планом.

3) Вычислить определитель второго порядка 

Δ= =69

Билет№22

1. Дать определение произведения матрицы А на матрицу В.

Произведением матрицы A = || aij|| , где (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) имеющей порядки, соответственно равные т и n, на матрицу В = || bij|| , где (i = 1, 2, ..., n , j=1, 2, ..., р), имеющую порядки, соответственно равные n и р, называется матрица С = || cij|| (і =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., р), имеющая порядки, соответственно равные т и р элементы которой определя-ются по формуле

где (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p) (1.4)

Для обозначения произведения матрицыі А на матрицу В используют запись С = А × В. Операция составления произведения матрицы А на матрицу В называется перемножением этих матриц.Формула (1.4) представляет собой правило составления элементов матрицы С, являющейся произведением матрицы А на матрицу В. Это правило можно сформулировать и словесно: элемент cij стоящий на пвресечении і-й строки и j-го столбца матрицьі С = А В, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов і-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В. В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка.

Из формулы (1.4) вытекают следующие свойства произведения матрицы А на матри-цу В:

1) сочетательное свойство: ( А В ) С = А ( В С );

2) распределительное относительно суммы матриц свойство:

( A + B ) С = А С + В С или A ( В + С ) = A В + А С.

2. Привести основные этапы симплекс-метода.

Основные этапы реализации симплекс-метода следующие.

1. Задача линейного программирования приводится к канонической

форме.

2. Определяется начальное допустимое решение (начальная угловая

точка ОДР).

3. Строится исходная симплекс-таблица. Выполняются преобразования

симплекс-таблиц, соответствующие перебору угловых точек ОДР, до

получения оптимального решения.

Определение оптимального решения на основе симплекс-таблиц

1. Строится исходная симплекс-таблица. Общий вид симплекс-таблицы

показан в табл. 1.

Таблица 1

Базис х1 х2 … хп хп+1 хn+2 … хк Решение

L –с1 –с2 … –сп 0 0 0 0 0

хп+1 а11 а12 … а1п 1 0 0 0 b1

хn+2 а21 а22 … а1п 0 1 0 0 b2

… … … … … … … … … …

хк ат1 ат2 … атп 0 0 0 1 bт

Симплекс-таблица строится по следующим правилам:

• в первой строке перечисляются все переменные задачи, как исходные

(х1, х2,..., хn), так и дополнительные, введенные при приведении к

канонической форме (хn+1, хn+2,..., хk). Для задач, содержащих только

ограничения «меньше или равно», дополнительные переменные хn+1, хn+2,...,

хk – это остаточные переменные;

• в первой колонке таблицы («Базис») перечисляются переменные,

составляющие начальный базис задачи. Их количество всегда равно

количеству ограничений. Для задач, содержащих только ограничения

«меньше или равно», начальный базис состоит из остаточных переменных

хn+1, хn+2,..., хk. В этой же колонке указывается обозначение целевой функции

L;

• в строке целевой функции указываются коэффициенты целевой

функции с обратным знаком. Для переменных, не входящих в целевую

функцию (например, для остаточных переменных хn+1, хn+2,..., хk) указываются

нули;

• в строках базисных переменных указываются коэффициенты

ограничений, в которые входят эти переменные. Для переменных, не

входящих в ограничения, указываются нулевые коэффициенты;

• в последнем столбце («Решение») указываются значения базисных

переменных (они равны правым частям ограничений), а также начальное

значение целевой функции (0).

Если таблица построена правильно, то в столбце каждой базисной

переменной должна присутствовать только одна единица (в строке

ограничения, в которое входит эта переменная); остальные коэффициенты –

нулевые.

2. Проверяется условие окончания решения задачи. Если в строке

целевой функции (L-строке) все коэффициенты неотрицательны, это

означает, что оптимальное решение найдено. В противном случае

выполняется следующий шаг.

3. Определяется переменная для включения в базис. В качестве такой

переменной выбирается переменная, которой соответствует максимальный

по модулю отрицательный коэффициент в L-строке. Включение в базис

(т.е. увеличение) такой переменной приводит к наиболее быстрому росту

целевой функции. Столбец переменной, выбранной для включения в базис,

называется ведущим (разрешающим).

3Вычислить определитель   методом треугольников.

БИЛЕТ 23

1)Метод Крамера ( формулы Крамера ) — способ решения систем линейных уравнений, у которых количество переменных равно количеству уравнений. Применение метода Крамера возможно, если определитель, составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю. В таком случае система имеет единственное решение . Создан Габриэлем Крамером в 1751 году.

Для системы линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы , отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).

В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство:

В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы и , либо набор состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

3) Задание. Вычислить определитель

Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.

Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.

Ответ.

БИЛЕТ 24