Розв’язування
а) Випишемо
– загальний член числового ряду:
Знайдемо границю
при
.
.
Ряд розбіжний,
тому що не виконана необхідна умова
збіжності:
.
б)
,
але це не гарантує збіжності ряда.
Скористаємось інтегральною ознакою.
Дослідимо на
збіжність:
,
де
,
оскільки
,
як границя нескінченно малої функції.
Інтеграл дорівнює певному числу і тому він збіжний за означенням.
Тоді за інтегральною ознакою ряд також збіжний.
в) Скористаємось ознакою Даламбера.
Випишемо
і
Знайдемо:
За ознакою Даламбера ряд збіжний.
г) Скористаємось теоремою порівняння додатних рядів.
Беремо для порівняння
ряд
:
Обчислимо:
(як перша границя).
Ряд
– узагальнений гармонічний ряд
і
Отже, ряд збіжний.
Тоді, за теоремою про порівняння рядів ряд також збіжний.
2. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність ряди:
Розв’язування
Дослідимо на абсолютну збіжність ряд .
Складемо додатній
ряд:
Порівняємо цей
ряд з узагальненим гармонічним рядом
,
який збіжний
Отже, за теоремою
1 порівняння рядів ряд
– збіжний.
Тоді ряд – абсолютно збіжний за означенням абсолютної збіжності ряду.
Відповідь : - абсолютно збіжний.
Дослідимо на абсолютну збіжність ряд
- розбіжний як
узагальнений гармонічний ряд з
.
Тому ряд не є абсолютно збіжним.
Дослідимо ряд на умовну збіжність:
Звідси бачимо, що
. 
Тоді за теоремою Лейбніца ряд – збіжний, але ця збіжність не абсолютна або умовна.
Відповідь : - збіжний умовно.
3. Знайти інтервал
збіжності степеневого ряду
та
дослідити
його збіжність на кінцях цього інтервалу
Розв’язування
Випишемо загальний
член ряду
.
Для обчислення інтервалу збіжності скористаємось ознакою Даламбера.
Знайдемо:
За ознакою Даламбера
при
ряд збіжний.
Дослідимо збіжність ряду на кінцях інтервалу (-1,1). Підставимо замість х число -1.
Одержимо ряд:
Ряд
– розбіжний як
гармонічний ряд.
Підставимо замість
х число 1. Одержимо ряд:
,
Отже,
За теоремою Лейбніца
ряд
– збіжний.
Отже, ряд розбіжний при х = -1 і збіжний при х = 1.
Відповідь : - збіжний на (-1;1].
4. Користуючись розкладанням в ряд Маклорена підінтегральної функції, обчислити наближено точністю 0,001 інтеграл:
Розв’язування
Звідси випливає:
Якщо в останню рівність підставити замість х величину , то одержимо розкладання в ряд Маклорена (степеневий ряд по степеням х).
Підставимо в
інтеграл замість
її розкладання в ряд Маклорена. Одержимо:
Отриманий числовий
ряд задовольняє умовам теореми Лейбніца:
,
і знаки членів
ряду чергуються. Тому отриманий ряд
збіжний за теоремою Лейбніца. Для
наближеного обчислення з точністю до
0,001 суми ряду знайдемо мінімальний за
номером член ряду, який за модулем менший
від 0,001 і , починаючи з цього члена ряду,
відкинемо й всі інші, які за ним слідують.
Тоді для наближеного обчислення суми ряду беремо суму лише перших п’яти членів ряду.
Відповідь :
.
ВІННИЦЬКИЙ ІНСТИТУТ РЕГІОНАЛЬНОЇ ЕКОНОМІКИ ТА УПРАВЛІННЯ
ПЕТРУНІН ВІКТОР СЕМЕНОВИЧ
„ВИЩА МАТЕМАТИКА”
Опорний конспект лекцій
(для студентів економічних спеціальностей
денної та заочної форм навчання)
Вінниця 2003
ПЕТРУНІН ВІКТОР СЕМЕНОВИЧ
„ВИЩА МАТЕМАТИКА”
Опорний конспект лекцій
(для студентів економічних спеціальностей
денної та заочної форм навчання)
Вінниця 2003
Петрунін Віктор Семенович. Вища математика. Частина І: Опорний конспект лекцій (для студентів економічних спеціальностей денної та заочної форм навчання). – ВІРЕУ, 2003. – 46 с.
Навчально-методичний посібник розглянуто і схвалено на засіданні кафедри економічної кібернетики від ___.___.2003 року протокол № ___ та на засіданні Методичної ради від ___.___.2003 протокол № ___
Рецензент: __________________