Розв’язування
-
загальний розв’язок відповідного
однорідного рівняння.
Права частина
– квазімногочлен з параметрами:
.
- не співпадає з коренями характеристичного рівняння.
Частинний Розв’язування неоднорідного рівняння:
Після підстановки і замість і в диференціальне рівняння 3) знайдемо А:
Отже,
Загальний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння 3) має вигляд:
Для
визначення довільних констант
обчислимо
:
За
початковими умовами:
,
.
Таким чином Розв’язування диференціального рівняння 3) , який задовольняє початковим умовам має вигляд:
.
д) Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння:
Запишемо відповідно однорідне рівняння:
Складемо характеристичне рівняння:
Розв’яжемо характеристичне рівняння:
Звідси:
.
Права частина
неоднорідного рівняння д) дорівнює
і є квазімногочленом з параметрами
.
Складемо комплексне
число
,
і співпадає з двома коренями
характеристичного рівняння. Тоді
– частинний Розв’язування неоднорідного
рівняння д) також є квазімногочлен з
параметрами
помножений на
.
Таким чином:
.
Знайдемо
і
.
Підставимо
,
,
і
замість
в неоднорідне рівняння д) . Одержимо:
Скоротивши
обидві частини на
,
одержимо:
.
Отже,
.
За теоремою про структуру загального розв’язку неоднорідного лінійного диференціального рівняння загальний розв’язок цього рівняння є сумою загального розв’язку відповідного однорідного рівняння і частинного розв’язку неоднорідного рівняння. Тобто:
Відповідь
:
г) Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння:
Розв’язування.
Запишемо відповідно однорідне рівняння:
Складемо характеристичне рівняння:
Розв’язавши характеристичне рівняння, отримаємо:
.
Права частина
неоднорідного рівняння г) дорівнює
і є квазімногочленом з параметрами
.
Складемо комплексне
число
,
.
Частинний Розв’язування неоднорідного рівняння г) має вигляд:
.
Знайдемо і .
,
або:
Звідси:
Отже,
Відповідь :
.
3. Знайти загальний розв’язок системи диференціальних рівнянь:
Складемо матрицю системи:
Розв’яжемо характеристичне рівняння:
(1)
Знайдемо корені характеристичного рівняння (1):
З першого рівняння системи:
Тоді, враховуючи
знайдене
,
одержимо:
Відповідь :
.
4. Знайдемо криві
такі, щоб кутовий коефіцієнт дотичної,
проведеної в точці (х,
у) дорівнював
, де
Розв’язування
Якщо крива має
рівняння
,
то
– дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної
до кривої, проведеної в т. (х,
у). Тому:
Розв’яжемо це диференціальне рівняння:
або:
Таким чином ми отримали рівняння кривих. Криві – концентричні кола з центром в початку координат і радіуса С1, де С1 – довільне додатне число.
Відповідь : .
V. Ряди
1. Дослідити на збіжність числові ряди.
а)
б)
в)
г)
