Розв’язування

Зробимо креслення області D.

Відповідь :

ІІІ. Диференціальні рівняння

1. Знайти загальні інтеграли диференціальних рівнянь:

а)	б)
в)	г)

Розв’язування

а) – це рівняння з відокремлюючимися змінними

Виражаємо через диференціали х і у.

Одержимо: (1).

Помножимо обидві частини рівняння (1) на . Одержимо:

(2)

В рівнянні (2) змінні відокремлені, ліва частина містить лише у і dy, а права тільки х і dх. Отже, можна інтегрувати обидві частини.

(3)

Обчислимо обидва інтеграла:

Підставивши обчислені інтеграли в (3), одержимо:

(4)

Формула (4) і є загальним інтегралом диференціального рівняння а).

б) – це однорідне диференціальне рівняння 1-го порядку

Зробимо заміну змінної ;

Після заміни змінної рівняння б) буде мати вигляд:

або

- за означенням

(1)

Помножимо обидві частини рівняння (1) на і одержимо рівняння з відокремлюючимися змінними:

(2)

Після інтегрування (2), одержимо:

(3)

Рівняння (3) і є загальним інтегралом диференціального рівняння б).

в) – це лінійне диференціальне рівняння

Для інтегрування в) скористаємось методом Бернуллі. Робимо заміну:

(4)

Проінтегрувавши цей вираз, отримаємо формулу:

або

, тобто

Підставимо знайдене в друге рівняння системи (4)

або

Відповідь :

2) – це рівняння Бернуллі

Скористаємось методом Бернуллі:

Можна інтегрувати:

Відповідь :

2. В задачах а), б), в) знайти загальні Розв’язування диференціальних рівнянь

а) Спочатку розв’яжемо відповідне однорідне рівняння.

Складемо характеристичне рівняння:

Загальний розв’язок однорідного рівняння:

Права частина рівняння а) – квазімногочлен з параметрами:

.

Комплексне число не співпадає з коренями характеристичного рівняння ( ). Частинний Розв’язування неоднорідного рівняння а) має вигляд: .

Для обчислення А і В підставимо замість у в рівняння а). Тоді одержимо:

Остання рівність виконується при .

Це можливо лише в тому випадку, коли коефіцієнти при однакових степенях Х співпадають. Прирівнявши коефіцієнти, одержимо:

Таким чином . За теоремою про загальний розв’язок неоднорідного лінійного диференціального рівняння, одержимо:

Відповідь :

б)

Розв’язування

Загальний розв’язок однорідного рівняння:

.

Права частина диференціального рівняння б) квазімногочлен з параметрами . Комплексне число і співпадає з одним із коренів характеристичного рівняння .

Загальний розв’язок неоднорідного рівняння б) дорівнює:

де – частинний Розв’язування рівняння б).

Підставивши і замість і в рівняння б), одержимо:

Отже, . Тоді:

- загальний розв’язок б)

в)

Загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд:

Права частина рівняння в)рівняння в) – квазімногочлен з параметрами .

Комплексне число і не співпадає з коренями характеристичного рівняння.

Тому частинний Розв’язування неоднорідного рівняння має вигляд:

Після підстановки і замість і в диференціальне рівняння в) знайдемо А і В:

Звідси випливає .

Таким чином:

Загальний розв’язок диференціального рівняння в) має вигляд:

Відповідь :

3. Знайти Розв’язування диференціального рівняння

, який задовольняє початковим умовам: