Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка:

i – не являются корнями

у*=е^x(Q₁(x)cosx+Q₂(x)sinx)

i – являются корнями

у*=хе^x(Q₁(x)cosx+Q₂(x)sinx)

у″+4у=(9x-3)sinx

Составим ЛОДУ−II

у″+4у=0

Характеристическое уравнение:

k²+4=0 имеет два различных комплексны корня

у=С₁cos2x+С₂sin2x- общее решение ЛОДУ−II, где С₁=const, С₂=const.

Правая часть ЛНДУ−II имеет вид:

R(x)=(9x-3)sinx, (R(x)=е^x(P₁(x)cosx+P₂(x)sinx))

=0, =1;

Р₁(х)=0 – многочлен нулевой степени,

Р₂(х)=9x-3 – многочлен первой степени,

i=i – не являются корнями, поэтому ищем решение в виде:

у*=(Аx+В)cosx+(Cx+D)sinx

у*′=(Сx+А+D)cosx+(-Аx-B+C)sinx

у*″=(-Ax-B+2C)cosx+(-Cx-2A-D)sinx

Подставим полученные выражения в ЛНДУ−II

(-Ax-B+2C)cosx+(-Cx-2A-D)sinx+

+4(Аx+В)cosx+4(Cx+D)sinx =(9x-3)sinx

(3B+2C+3Ax)cosx+(-2A+3D+3Cx)sinx=

=(9x-3)sinx

у*=-2cosx+(3x-1)sinx - частное решение ЛНДУ−II.

у=С₁cos2x+С₂sin2x-2cosx+(3x-1)sinx − общее решение ЛНДУ−II

у″+2y′+10у=6е^-xсos3x

Составим ЛОДУ−II

у″+2y′+10у=0

Характеристическое уравнение:

k²+2k+10=0 имеет два различных комплексны корня

у=е^-х(С₁cos3x+С₂sin3x)- - общее решение ЛОДУ−II, где С₁=const, С₂=const.

Правая часть ЛНДУ−II имеет вид:

R(x)=е^-xсos3x, (R(x)=е^x(P₁(x)cosx+P₂(x)sinx))

=-1, =3;

Р₁(х)=6 – многочлен нулевой степени,

Р₂(х)=0 – многочлен нулевой степени,

i=-13i – являются корнями, поэтому ищем решение в виде:

у*=хе^-x(Acos3x+Bsin3x)=е^-x(Aхcos3x+Bхsin3x)

у*′=е^-x((A-Аx+3Bx)cosx+(B-3Аx-Bx)sinx)

у*″=е^-x((-2A+6B-8Аx-6Bx)cosx+(-6A-2B+6Аx-8Bx)sinx)

Подставим полученные выражения в ЛНДУ−II

е^-x((-2A+6B-8Аx-6Bx)cosx+

+(-6A-2B+6Аx-8Bx)sinx)+

+2 е^-x((A-Аx+3Bx)cosx+(B-3Аx-Bx)sinx)+

+10е^-x(Aхcos3x+Bхsin3x)=6е^-xсos3x

е^-x(6Bcos3x-6Asin3x)=6е^-xсos3x

у*=е^-xхsin3x - частное решение ЛНДУ−II.

у=е^-х(С₁cos3x+С₂sin3x)+е^-xхsin3x − общее решение ЛНДУ−II

1. Общим решением дифференциального уравнения у′=у является

1. у=С·е^-х, где С=const

2. у=С·е^х, где С=const

3. у=е^х

2. Общим решением дифференциального уравнения у′=2x является

1. у=x²

2. у=2+С, где С=const

3. у=x²+С, где С=const

3. Частным решением дифференциального уравнения у′=у является

1. у=2е^х

2. у=-е^х

3. у=С·е^х, где С=const

4. Частным решением дифференциального уравнения у′=у, удовлетворяющим заданному условию, что у(0)=3 является

1. у=С·е^х, где С=const

2. у=2е^х

3. у=3е^х

5. Частным решением дифференциального уравнения является

1. у=x³

2. у=x²

3. у=2x²

6. Общим решением дифференциального уравнения у″-4y′-5у=0 является

1. у=С₁е^-х+С₂е^5х, где С₁=const, С₂=const

2. у=С₁е^х+С₂е^-5х, где С₁=const, С₂=const

3. у=С₁е^5х+С₂е^-х, где С₁=const, С₂=const

7. Общим решением дифференциального уравнения у″-4y′+13у=0 является

1. у=С₁е^2х+С₂е^3х, где С₁=const, С₂=const

2. у=е^2х(С₁cos3x+С₂sin3x) где С₁=const, С₂=const

3. у=е^3х(С₁cos2x+С₂sin2x) где С₁=const, С₂=const

8. Общим решением дифференциального уравнения у″-6y′+9у=0 является

1. у=С₁е^3х+С₂е^3х, где С₁=const, С₂=const

2. у=С₁е^-3х+С₂е^-3х, где С₁=const, С₂=const

3. у=С₁е^3х+хС₂е^3х, где С₁=const, С₂=const

9. Общим решением дифференциального уравнения у″+6y′+9у=0 является

1. у=С₁е^-3х+С₂е^-3х, где С₁=const, С₂=const

2. у=хС₁е^-3х+С₂е^-3х, где С₁=const, С₂=const

3. у=С₁е^-3х+С₂хе^-3х, где С₁=const, С₂=const

10. Общим решением дифференциального уравнения у″+4y′+13у=0 является

1. у=е^3х(С₁cos(-2x)+

+С₂sin(-2x)) где С₁=const, С₂=const

2. у=е^2х(С₁cos3x+С₂sin3x) где С₁=const, С₂=const

3. у=е^-2х(С₁cos3x+С₂sin(-3x)) где С₁=const, С₂=const

11. Частное решение ЛНДУ−II у″-5y′+6у=(3х²-5)е^2x имеет вид

1. у*=(Ах²+Вх+С)е^2x

2. у*=(Ах³+Вх²+Сх)е^2x

3. у*=(Ах³+Вх²+Сх)е^x

12. Частное решение ЛНДУ−II у″-5y′+6у=3х+2 имеет вид

1. у*=(Ах²+Вх)е^x

2. у*=(Ах+В)е^x

3. у*=Ах+В

13. Частное решение ЛНДУ−II у″-5y′+6у=(3х²-5)е^x имеет вид

1. у*=(Ах²+Вх+С)е^x

2. у*=(Ах+В)е^x

3. у*=(Ах³+Вх²+Сх)е^x

14. Частное решение ЛНДУ−II у″-2y′+у=е^x имеет вид

1. у*=Ах²е^x

2. у*=х²е^x

3. у*=А

15. Частное решение ЛНДУ−II у″-2y′+у=е^-x имеет вид

1. у*=Ах

2. у*=Ае^-x

3. у*=Ае^x

16. Частное решение ЛНДУ−II у″-2y′+у=х² имеет вид

1. у*=(Ах²+Вх+С)е^x

2. у*=х²е^x

3. у*=Ах²+Вх+С

17. Частное решение ЛНДУ−II у″-4y′+13у=е^2x имеет вид

1. у*=е^2x

2. у*=Ае^2x

3. у*=е^2x(Acos3x+Bsin3x)

18. Частное решение ЛНДУ−II у″-4y′+13у=хе^2x имеет вид

1. у*=Ае^2x

2. у*=(Ax+B)е^2x

3. у*=е^2x(Acos3x+Bsin3x)

19. Частное решение ЛНДУ−II у″-4y′+13у=4е^2xsin3x имеет вид

1. у*=е^2x(Aхcos3x+Bхsin3x)

2. у*=Aхе^2xsin3x

3. у*=е^2x(Acos3x+Bsin3x)

20. Частное решение ЛНДУ−II у″-4y′+13у=(1-5х)е^3xsin2x имеет вид

1. у*=е^3x(Ах+В)sin2x

2. у*=е^2x(Acos3x+Bsin3x)

3. у*=е^3x(Acos2x+Bsin2x)

21. Частное решение ЛНДУ−II у″-4y′+13у=е^3xcos2x имеет вид

1. у*=Ае^3xcos2x

2. у*=е^3x(Acos2x+Bsin2x)

3. у*=хе^3x(Acos2x+Bsin2x)

22. Частное решение ЛНДУ−II у″-4y′+13у=е^2x(4хcos3x+(3х²+1)sin3x) имеет вид

1. у*=xе^2x((Ах+В)cos3x+ +(Сх²+Dх+E)sin3x)

2. у*=((Ах²+Вх+С)cos3x+ +(Dх²+Eх+F)sin3x)е^2x

3. у*=((Ах²+Вх+С)cos3x+ +(Dх²+Eх+F)sin3x)xе^2x

23. Частное решение ЛНДУ−II у″-4y′+13у=е^3x(4хcos2x+(3х²+1)sin2x) имеет вид

1. у*=е^3x((Ах+В)cos2x+ +(Сх²+Dх+E)sin2x)

2. у*=((Ах²+Вх+С)cos2x+ +(Dх²+Eх+F)sin2x)е^3x

3. у*=((Ах²+Вх+С)cos2x+ +(Dх²+Eх+F)sin2x)xе^3x