1. Метод Бернулли.

Решение уравнения у+Р(x)у=Q(x) ищется в виде произведения двух других функций, то есть с помощью подстановки y=u·v, где u(x) и v(x) – неизвестные функции от х, причём одна из них произвольна, но не равна нулю, пусть v≠0.

y=u·v

y=u·v+u·v

Подставляя выражения у и у в заданное уравнение получаем:

u·v+u·v+Р(x)·u·v=Q(x)

или

u·v+u·(v+Р(x)·v)=Q(x).

Подберём функцию v так, чтобы v+Р(x)·v=0, то есть решим u·v=Q(x) – уравнение с разделяющимися переменными. Ввиду свободы выбора функции v примем в решении данного уравнения постоянную за 0.

Отыскав функцию v, подставим её в заданное уравнение и отыщем вторую функцию u.

Запишем окончательный ответ в виде: y=u·v.

2. Метод Лагранжа (метод вариации постоянной).

Решение уравнения у+Р(x)у=Q(x) ищется в следующей последовательности:

Составим вспомогательное ЛОДУ−I у+Р(x)у=0 и решим его как уравнение с разделяющимися переменными. То есть получим, что у=f(x)+C, где С=const – общее решение вспомогательного уравнения.

Теперь будем искать общее решение заданного уравнения в виде у=f(x)+C(х), где С(х) – некоторая теперь функция от х.

Найдём производную полученного выражения у и подставим у и у в заданное уравнение из которого выразим неизвестную функцию С(х) (заметим, что при данной подстановки два слагаемых в уравнении обязательно взаимно уничтожатся).

Подставим найденную функцию С(х) в общее решение заданного уравнения.

2. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка:

y′ctgx+y=2 Метод Бернулли. Пусть y=uv, где u, v – неизвестные функции от х, тогда y′=u′v+uv′. Подставим полученные у и у′ в исходное уравнение: (u′v+uv′)ctgx+uv=2; u′vctgx+u(v′ctgx+v)=2; v′ctgx+v=0 Получили уравнение с разделяющимися переменными: Определим функцию u: u′vctgx+u·0=2  u′vctgx=2  u′cosxctgx=2 Итак, у=2+Ccosx, где С=const – общее решение уравнения.

y′=y/х+2х2 Метод Бернулли.

3. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка:

Метод Лагранжа. Составим вспомогательное уравнение: - это уравнение с разделяющимися переменными, итак, где С=const - общее решение вспомогательного уравнения. Ищем теперь общее решение заданного уравнения в виде: , где С(х)- некоторая функция от х. . Подставим полученные выражения в заданное уравнение и найдём С(х): , где C*=const, - общее решение уравнения.

, у0=0, х0=0 Метод Лагранжа. у=sinx+C*cosx - общее решение; у=sinx - частное решение (решение задачи Коши).

.Линейные дифференциальные уравнения