Занятие 9. Дифференциальные уравнения.

Дифференциальным уравнением называется урав­нение, содержащее производные неизвестной функ­ции (или нескольких неизвестных функций). Вместо производных могут содержаться дифференциалы.

Если неизвестные функции зависят от одного ар­гумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких, то уравнение на­зывается дифференциальным уравнением с частными производными. Будем рассматривать только обык­новенные дифференциальные уравнения.

Общий вид дифференциального уравнения с одной неизвестной функцией таков:

F(х, у, у', у", ..., у⁽ⁿ⁾) = 0.

Порядком дифференциального уравнения называ­ется порядок наивысшей из производных, входящих в это уравнение.

Функция у=(х) называется решением дифферен­циального уравнения, если последнее обращается в тождество после подстановки у=(х).

Основной задачей теории дифференциальных уравнений является нахождение всех решений данно­го дифференциального уравнения. В простейших слу­чаях эта задача сводится к вычислению интеграла. Поэтому решение дифференциального уравнения на­зывают также его интегралом, а процесс нахождения всех решений — интегрированием дифференциально­го уравнения.

Вообще интегралом данного дифференциального уравнения называют всякое уравнение, не содержа­щее производных, из которого данное дифференциаль­ное уравнение вытекает как следствие.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение вида F(x, y, y')=0, где х — независимая переменная; у — искомая функция; у' — её производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение можно разрешить относительно у', то оно принимает вид: y' = f(x, y) и называется уравнением первого порядка, разрешенным относи­тельно производной.

Дифференциальное уравнение удобно записать в виде: , являющемся част­ным случаем более общего уравнения (в симметрической форме): P(x,y)dx+Q(x, y)dy =0, где Р(x, y) и Q (x, y) — известные функции.

Уравнение в симмет­ричной форме удобно тем, что переменные х и у в нем равно­правны, т.е. каждую из них можно рассматривать как функцию от другой.

Решением дифференциального уравнения первого прядка называется функция у=(х), которая при подстановке в уравнение обра­щает его в тождество.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общим решением уравнения в некоторой области G плоскости Оху называется функция у=(х, С), завися­щая от х и произвольной постоянной С, если она является решени­ем уравнения при любом значении постоянной С, и если при любых начальных условиях таких, что (х₀; у₀)G, существует единственное значение постоянной С=С₀ такое, что функция у=(х, С₀) удовлетворяет данным начальным условиям  (х₀, С)=С₀.

Частным решением уравнения в области G называется функция у=(х, С₀), которая получается из общего решения у=(х, С) при определенном значении постоянной С=С₀.

Уравнения с разделяющимися переменными

Если ДУ−I имеет вид: Р(х)dx+Q(y)dy=0, в котором Р зависит только от х, а Q зависит только от у, то оно является ДУ−I с разделёнными переменными.

Общий интеграл уравнения с разделёнными переменными представляется уравнением:

Если ДУ−I имеет вид: X₁Y₁dy+X₂Y₂dx=0, в котором X₁ и X₂ зависят только от х, а Y₁ и Y₂ зависят только от у, то оно является ДУ−I с разделяющимися переменными и приводится к ДУ−I с разделёнными переменными. Процесс приведения называется разделением переменных.

1. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка:

у′у=x Итак, , где C=const – общее решение уравнения. Найдём частное решение этого уравнения удовлетворяющее начальным условиям (решим задачу Коши): у′у=x, х0=2, у0=0 Получим . Итак, – частные решения уравнения, удовлетворяющие заданным условиям.	у′cosx-ysinx=0 Итак, , где C=const – общее решение уравнения.
у′=-2xу	у′=-у2

Линейное ду−I порядка (лду−I)

Пусть ДУ−I имеет вид: Мdx+Ndy=0 – оно называется ЛДУ−I, если отношение ^M/_N содержит у лишь в первой степени. ЛДУ−I принято записывать в виде у+Р(x)у=Q(x) где Р(x) и Q(x) непрерывные функции от х.

• Если Q(x)=0, то уравнение принимает вид у+Р(x)у=0 и оно называется ЛОДУ−I или линейным уравнением без правой части. В этом случае оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

• Если Q(x)≠0, то уравнение называется ЛНДУ−I или линейным уравнением с правой части. В этом случае его можно решить методом Бернулли или методом Лагранжа.