1.3. Апериодическое звено второго порядка.
Дифференциальное
уравнение имеет вид:
…(43)
и получается из уравнения (1)
при
и
.
При этом корни
характеристического уравнения
должны быть вещественными, что выполняется
при условии
(при
звено вырождается в апериодическое
первого порядка).
Рис. 21. Примеры апериодических звеньев второго порядка.
Апериодическое
звено второго порядка эквивалентно
двум апериодическим звеньям первого
порядка, включенным последовательно
друг за другом, с общим коэффициентом
передачи
и постоянными времени
и
,
где
.
Примеры апериодических звеньев второго порядка приведены на рис. 21.
1). В операторной форме уравнение (43) приобретает вид
…(44).
Левая часть последнего выражения разлагается на множители:
…(45).
Передаточная функция звена
…(46).
2). Переходная функция записывается в виде:
...(47),
а ее графическое изображение представлено
на рис.
22.
Рис. 22. Переходная функция апериодического звена второго порядка.
3). Функция веса
звена имеет вид:
…(48)
– рисунок
23.
Рис. 23. Функция веса апериодического звена второго порядка.
4). Частотная передаточная функция имеет вид:
…(49).
5). Действительная и мнимая части имеют вид:
…(50);
...(51).
График
амплитудно-фазовой частотной характеристики
на комплексной плоскости (рис.
24) построим
по следующим точкам:
,
и
.
Рис. 24. Амплитудно-фазовая частотная характеристики.
При этом
;
;
.
;
;
;
.
6). Амплитудная частная характеристика имеет вид (рис. 25, а):
Рис. 25. Амплитудная (а) и фазовая (б) частотные характеристики апериодического звена второго порядка.
7). Фазовая частотная характеристика имеет вид (рис. 25, б):
.
8). Лах строится по выражению
Рис. 26. Логарифмическая амплитудная (а) и фазовая (б) частотные характеристики апериодического звена второго порядка.
Действительная лах показана на рисунке 26, а. Она отличается от асимптотической в точках излома примерно на 3 дБ.
9). На том же рисунке показана лфх.
1.4. Колебательное звено.
Звено описывается
тем же дифференциальным уравнением
(43),
что и апериодическое звено второго
порядка. Однако корни характеристического
уравнения
д.б. комплексными, что будет выполняться
при
.
Примеры колебательных звеньев приведены на рис. 27.
Рис. 27. Примеры колебательных звеньев.
К ним относятся
колебательные RLC
– цепи (рис.
27, а),
управляемые двигатели постоянного тока
при выполнении условия
(рис.
27, б),
упругие механические передачи, например,
для передачи вращательного движения
(рис.
27, в)
с упругостью С,
моментом инерции I
и коэффициентом скоростного трения S,
гироскопические элементы (рис.
27, г)
и другие.
1). Левая часть
дифференциального уравнения обычно
представляется в виде
….(52.),
где ζ – параметр затухания, лежащий в
пределах
.
Передаточная функция колебательного звена
….(53).
2).Переходная характеристика колебательного звена:
,
где
;
;
.
Рис. 28. Переходная функция колебательного звена.
3). Функция веса
имеет вид:
.
Рис. 29. Функция веса колебательного звена.
4). Частотная передаточная функция имеет вид:
.
5).Действительная и мнимая части имеют вид:
;
.
На афх показаны
три отметки (
).
При этом
;
;
.
Рис. 30. Амплитудно-фазовая частотная характеристика колебательного звена.
6).Амплитудная частная характеристика имеет вид (рис.31, а).
.
Рис. 31, а. Амплитудная частотная характеристика колебательного звена.
Ачх может иметь
резонансный пик. Исследования модуля
частотной передаточной функции на
максимум показывает, что пик будет
существовать при
.
Высота пика будет тем больше, чем меньше
параметр затухания
….(54).
Максимуму ачх соответствует частота
…..(55).
7). Фазовая частотная характеристика имеет вид (рис. 31, б):
.
Рис. 31, б. Фазовая частотная характеристика колебательного звена.
8).Лах строится по выражению
Истинная лах показана на рисунке (рис. 32, а). Она отличается от асимптотической в точках излома на 3 дБ.
9). На рисунке (32, б) показана лфх.
Рис. 32. Логарифмическая амплитудная (а) и фазовая (б) характеристики колебательного звена.