§ 3. Основные характеристики типовых динамических звеньев.

1. Позиционные звенья.

1.1. Безынерционное звено.

Это звено не только в статике, но и в динамике описывается алгебраическим уравнением …(23) и получается из уравнения (1)

при , и .

Примером такого звена является механический редуктор (без учета явления скручивания и люфта), безынерционный (широкополосный) усилитель, делитель напряжения и т.п. Многие датчики сигналов, как, например, потенциометрические датчики, вращающиеся трансформаторы и.т.п., также могут рассматриваться как безынерционные звенья.

1). Передаточная функция звена равна постоянной величине:

...(24).

2). Переходная функция такого звена представляет собой ступенчатую функцию, т.е. …(25) и изображена на рис. 10.

Рис. 10. Переходная функция безынерционного звена.

3). Функция веса представляет собой импульсную функцию, площадь которой равна , т.е. …(26) - рис. 11.

Рис. 11. Функция веса безынерционного звена.

4). Частотная передаточная функция, получаемая путем замены комплексной переменной на произведение , также есть величина постоянная:

…(27).

5). Вещественная часть частотной характеристики (27) , а мнимая .

Поэтому амплитудная фазовая характеристика (афх) вырождается в точку, расположенную на вещественной оси на расстоянии от начала координат – рисунок 12.

Рис. 12. Амплитудно-фазовая частотная характеристика безынерционного звена.

Безынерционное звено является некоторой идеализацией реальных звеньев. В действительности ни одно звено не в состоянии равномерно пропускать все частоты от 0 до ∞. Обычно к такому виду звена сводится одно из реальных звеньев, рассматриваемых ниже, например, апериодическое или колебательное, если можно пренебречь влиянием динамических (переходных) процессов в этом звене.

6). Модуль частотной передаточной функции …(28) постоянен на всех частотах. Амплитудная характеристика есть прямая, параллельная оси частот на расстоянии - рисунок 13, а.

Рис. 13. Амплитудная (а) и фазовая (б) частотная характеристика безынерционного звена.

7). Фазовые сдвиги равны нулю …(29), поэтому фазовая частотная характеристика совпадает с действительной осью рис. 13, б.

8). Логарифмическая амплитудная частотная характеристика строится в стандартных координатах и равна соответственно …(30) – рис. 14, а.

Рис. 14. Логарифмическая амплитудная (а) и фазовая (б) частотная характеристики безынерционного звена.

9). Логарифмическая фазовая частотная характеристика равна нулю ...(31) – рис. 14, б.

1.2. Апериодическое звено первого порядка.

Звено описывается дифференциальным уравнением …(32) и получается из уравнения (1) при , и .

Примеры апериодических звеньев первого порядка изображены на рис. 15.

В качестве первого примера (рис. 15, а) рассматривается двигатель любого типа (электрический, гидравлический, пневматический и т.д.), механические характеристики которого (зависимость вращающего момента от скорости) могут быть представлены в виде параллельных прямых.

В качестве второго примера (рис. 15, б) приведен электрический генератор постоянного тока, входной величиной которого является напряжение, подводимое к обмотке возбуждения , а выходной – напряжение якоря .

Апериодическими звеньями первого порядка также являются:

- резервуар с газом (рис. 15, в), у которого входная величина представляет собой давление перед впускным отверстием, а выходная – давление в резервуаре;

- нагревательная печь (рис. 15, г), у которой входная величина – количество поступающего в единицу времени тепла , а выходная - температура в печи °C.

Электрические и цепи в соответствии со схемами, изображенными на рисунке 15, д, также представляют собой апериодические звенья первого порядка.

Во всех приведенных примерах дифференциальное уравнение объекта регулирования совпадает с уравнением (32).

Рис. 15. Примеры апериодических звеньев первого порядка.

1). Передаточная функция звена …(33).

2). Переходная функция представляет собой экспоненту: …(34) и изображена на рис. 16.

Рис. 16. Переходная функция апериодического звена первого порядка.

Отрезок, отсекаемый на асимптоте касательной, проведенной к кривой в любой точке, равен постоянной времени . Чем больше постоянная времени звена, тем дольше длится переходный процесс, т.е. медленнее устанавливается значение на выходе звена. Строго говоря, экспонента приближается к этому значению асимптотически, т.е. на бесконечности. Постоянная времени характеризует «инерционность» или «инерционное запаздывание» апериодического звена.

Выходное значение в апериодическом звене устанавливается только спустя некоторое время после подачи входного воздействия. Практически переходной процесс считается закончившимся через промежуток времени . Иногда принимают .

3). Функция веса может быть найдена дифференцированием переходной функции : …(35), и ее вид представлен на рис. 17.

Рис. 17. Функция веса апериодического звена первого порядка.

4).Частотная передаточная функция, получаемая путем замены в уравнении (33), имеет вид: …(36).

5).Выделяя действительную и мнимую части частотной передаточной функции (36), находим: …(37); ...(38).

Амплитудно-фазовая частотная характеристика для положительных частот имеет вид полуокружности с диаметром, равным коэффициенту передачи .

На афх показаны три отметки ( ). При этом действительные и мнимые части соответственно равны: ; ; .

Афх для положительных частот может быть дополнена зеркальной полуокружностью для отрицательных частот (пунктир). В результате полная афх представляет собой окружность (рисунок 18).

Рис. 18. Амплитудно-фазовая частотная характеристика апериодического звена первого порядка.

6). Амплитудная частотная характеристика записывается формулой:

...(39) и графически имеет вид (рисунок 19, а).

Рис. 19. Амплитудная (а) и фазовая (б) частотная характеристика апериодического звена первого порядка.

Из амплитудной характеристики следует, что колебания малой частоты ( ) «пропускаются» данным звеном с отношением амплитуд выходной и входной величин, близким к статическому коэффициенту передачи звена .

Колебания большой частоты ( ) проходят с сильным ослаблением амплитуды, т.е. «плохо пропускаются» или практически совсем «не пропускаются» звеном.

Чем меньше постоянная времени , т.е. чем меньше инерционность звена, тем более вытянута амплитудная характеристика вдоль оси частот или, как говорят, тем шире полоса пропускания частот у данного звена:

…(40).

7). Фазовая частотная характеристика определяется уравнением:

…(41) – рисунок 19,б.

8). График логарифмической амплитудной частотной характеристики (лах) (рисунок 20, а) строится по выражению

…(42).

Наиболее просто, практически без вычислительной работы, строится так называемая асимптотическая лах. На стандартной сетке через точку с частотой, называемой сопрягающей частотой , проводится вертикальная прямая. Для частот меньших, чем сопрягающая частота, т.е. при , можно пренебречь вторым слагаемым под корнем в выражении (42). Тогда левее сопрягающей частоты (рис. 20, а) формулу (42) можно заменить приближенным выражением (при ), которому соответствует прямая линия, параллельная оси частот (прямая ab) и являющаяся первой асимптотой.

Для частот больших, чем сопрягающая частота ( ), в выражении (42) можно пренебречь под корнем единицей по сравнению с . Тогда вместо (42) будем иметь приближенное значение (при ), которому соответствует прямая с отрицательным наклоном 20 дБ/дек (прямая bc), являющаяся второй асимптотой лах.

Действительная лах (пунктир) будет несколько отличаться от асимптотической, причем наибольшее отклонение будет в точке b. Оно равно приближенно 3 дБ, т.к. , что в линейном масштабе соответствует отклонению в раз.

На всем остальном протяжении влево и вправо от сопрягающей частоты действительная лах будет отличаться от асимптотической менее чем на 3 дБ. Поэтому во многих практических расчетах достаточно ограничиться построением асимптотической лах.

Рис. 20. Логарифмическая амплитудная (а) и фазовая (б) частотные характеристики апериодического звена первого порядка.

9). На рисунке 20, б показана логарифмическая фазовая частотная характеристика. Характерными ее особенностями являются сдвиг по фазе при сопрягающей частоте (т.к. ) и симметрия лфх относительно сопрягающей частоты.