Глава 7. Другие методы решения функциональных уравнений. Метод подстановки.

Метод подстановки позволяет решить довольно узкий класс функциональных уравнений. Он заключается в следующем. Пусть ϕ(x) – функция, которая обладает таким свойством: если ϕ₁(x) = ϕ(x) и

ϕ_{k + 1}(x) = ϕ(ϕk (x)) при k ≥ 1, то ϕ_n(x) = x для некоторого n. Напри-

мер, если ϕ(x) = 1 − x, то ϕ₂(x) = x. Предположим, что функциональное

уравнение содержит только функции f(x), f(ϕ(x)) , . . . , f(ϕ_{n − 1}(x)) . То-

гда вместо x можно подставить ϕ₁(x), ϕ₂(x), . . . , ϕ_{n − 1}(x) и получить

систему уравнений, которую иногда удаётся решить.

Задача1. Найдите все функции f(x), которые определены при x ≠ 1 и удовлетворяют соотношению .

Решение. Пусть . Тогда и . Поэтому получаем систему уравнений

Сложим первое уравнение с третьим и вычтем из них второе уравнение. В результате получим .

Непосредственная проверка показывает, что эта функция удовлетворяет требуемому соотношению.

Функциональные уравнения для произвольных функций.

Задача 2. Найдите функцию f(x), которая определена для всех x, в некоторой точке отлична от нуля и для всех x, y удовлетворяет уравнению

f(x)f(y) = f(x – y).

Решение. Возьмем точку x₀, для которой f(x₀) ≠ и положим y = 0. Тогда f(x₀)f(0) = f(x₀), поэтому f(0) = 1. Положив x = y, получаем (f(x))² = f(0) = 1.

Значит, . Наконец, положив , получим , причем . Поэтому f(x)=1.

Функциональные уравнения для непрерывных функций.

Задача 3. Найдите все непрерывные функции, которые определены для всех x и удовлетворяют соотношением , где a – фиксированное положительное число.

Решение. Ясно, что .

Если , то , поскольку функция f непрерывна. Кроме того, при . Поэтому .Таким образом, , где C – произвольная функция.

Функциональные уравнения для дифференцируемых функций.

Задача 4. Найдите все дифференцируемые функции f, для которых для всех x.

Решение. Эквивалентное условие таково: , поэтому функция f²(x) постоянна. Из непрерывности функции следует, что f(x) тоже постоянна.

Функциональные уравнения для многочленов.

Задача 5. Пусть функция f(x) дифференцируема n раз и при всех вещественных x, y, x ≠ y, выполняется неравенство

Докажите, что тогда f – многочлен степени не выше n.

Заключение.

За время работы над проектом я узнал много нового о функциональных уравнениях. Я познакомился c теоремами о функциональных уравнениях, с методами разделения переменных, методом Коши, методом подстановки и другими. Я понял принципы составления некоторых видов функциональных уравнений.

Кроме этого, я решил много задач различных региональных олимпиад с помощью методов решения функциональных уравнений. Ранее эти задачи были мне непосильны.

Проделанная работа была полезной как в части расширения кругозора, обогащения новыми знаниями, так и для проявления изобретательности и фантазии при решении новых задач.

Материалы проекта полезны при подготовке к олимпиадам.

Список литературы.

• Супрун В. П. Математика для старшеклассников: Задачи повышенной сложности. – М.: Издательство ЛКИ, 2008. – 200 с.

• Математика для старшеклассников. Нестандартные методы решения задач: Пособие для учащихся общеобразоват. учреждений / В.П. Супрун. – Мн.: «Аверсев», 2003. – 254 с.

• Московская математическая олимпиада: задачи и решения окружного этапа: 11 класс – М.: Издательство МЦНМО, 2007.

• Супрун В. П. Математика для старшеклассников: Нестандартные методы решения задач. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. – 272 с.

• Просолов В. В. Задачи по алгебре, арифметике и анализу: Учебное пособие. – М.: МЦНМО, 2007. – 608 с.: ил.