Глава 6. Композиция функций и функциональные уравнения.

Определение. Пусть заданы две функции у = f(x) и х = g(t), причем область определения функции f содержит множество значений функции g. Тогда каждому числу t из области определения функции g соот­ветствует значение

x = g(t), принадлежащее обла­сти определения функции f, а ему, в свою очередь, соответствует число у = f(x).

Таким образом, каждому числу t из области определения функции g ставится в соответствие единственное число у из множества значений функции f, а это означает, что на области опреде­ления функции g задана функция, которую на­зывают сложной функцией или композицией функций. При этом пишут

у = f(g(x)).

Задача 1. Дана функция

Решить неравенство

.

Решение.

Тогда неравенство примет вид:

Поскольку Зх² + 13х + 16 > 0 для всех действи­тельных х, то последнее неравенство выполняется при .

Ответ: ( 4;  2).

Задача 2. (МИЭТ, 2004, № 9 из 11.) Найти значение f(f(1)), если

Решение. Найдем вначале f(1). Поскольку 1 >  2, то f(1)=  1  5=  6. Значит, f(f(1))=f(− 6). Так как − 6 < − 2, то . Итак, f(f(1))= − 11.

Ответ: − 11.

Задача 3. (МИЭТ, 2002, №9 из 11.) Пусть

Решить неравенство f(g(x  9)) ≥ f(4).

Решение. Поскольку , то

.

Так как f(4) = 1, то неравенство (g(x  9)) ≥ f(4) примет вид:

.

Пусть , тогда t ≥ 0 и имеем систему:

.

Возвращаясь к переменной х, получим:

Ответ: [9; 18) и (18; 25].

Задача 4. (Олимпиада ОММО, 2011) Функция f такова, что

f(2x – 3y) – f(x + y) = –2x +8y для всех x, y.

Найдите все возможные значения выражения .

Решение. Подставляя y = –x, получаем, что f(5x) = –10x + f(0), т.е. f(t) = –2t + c (где c – некоторая константа). Значит, искомое выражение всегда (когда оно определено) равняется 4.

Ответ: 4.

Задача 5. (Демовариант ЕГЭ 2012 г. C5)

Найти все пары (x, y), , , удовлетворяющих схеме

Где f – периодическая функция, с периодом T = 2, определенная на всей числовой прямой, причем f(x) = 4|x| при .

Решение. Введем обозначения: a = f(x) – 3, b = f(y) – 2. Система принимает вид

Из первого уравнения следует, что , тогда из второго получаем: a = 1. Из первого уравнения теперь , откуда b = 1.

Следовательно, f(x) = 4, f(y) = 3.

Построим график функции f(x). График – пилообразная ломанная. Наибольшее значение функции f равно 4 и достигается в точках 1 + 2k, . Значение 3 функция принимает в точках , .

Учитывая условия и , получаем:

x = – 1 – 2k, , , k = 0, 1, 2, … n = 0, 1, 2, …

y

x

Ответ. , , k = 0, 1, 2, … n = 0, 1, 2 …

Задача 6.

1) Пусть

2) Подставим в исходное уравнение, получим

3)Заменим z на получим или после преобразований в правой части уравнения:

4)Итак, получили два уравнения:

5)Умножим обе части 1-го уравнения на (-2) и сложим со 2-ым уравнением, получим:

Задача 7.

2

1)Заменим в уравнении на ,получим 2 .

2) Умножим обе части исходного уравнения 2 на (-2) и сложим с уравнением 2 ,

получим:

.

Задача 8.

Пусть тогда уравнение принимает вид: .

Заменим в уравнении на , получим .

Умножим уравнение на (-2) и сложим с уравнением , получим Таким образом,

Пример 4.

1) Заменим в уравнение на , .

2)Умножим уравнение на и вычтем из уравнения ,получим -

, где

Задача 9.

,

1)Заменим в уравнении на получим .

2)Выразим из исходного уравнения , получим

или .

3)Подставим в уравнение , получим .

Выполним преобразования

Задача 10.

.

Заменим на , получим

Умножим обе части уравнения на и вычтем из уравнения

получим

Задача 11.

1)Пусть , тогда уравнение принимает вид:

2)Пусть тогда исходное уравнение принимает вид:

3)Умножим обе части уравнения из п.1 на 2, а обе части уравнения из п.2 на (-3) и почленно сложим получившиеся уравнения:

Задача 12.

1) Заменим на , получим или .

2)Умножим обе части уравнения из п.1 на (-2) и сложим с исходным уравнением:

получаем :