Глава 4. Метод Коши.

Суть метода Коши состоит в поэтапном опре­делении искомой функции. Сначала с помощью подстановок и метода математической индукции функция определяется на множестве натуральных чисел, потом на множестве целых чисел и мно­жестве рациональных чисел. На заключительном этапе, используя предельный переход под знаком непрерывной функции, она определяется на мно­жестве иррациональных чисел.

Задача 1. Найдите все функции f: N → N, для которых:

а)f(1) = 1;

б) f(x + у) = f(х) + f(у) + ху для всех .

Решение. Пусть функция f удовлетворяет условиям задачи. Тогда при х = n,

у = kn, где n, m — произвольные натуральные числа, а k = 1, ..., m − 1, имеем такие равенства:

f(2n) = 2f(n) + n²,

f(3n) = f(n) + f(2n) + 2n²,

f(4n) = f(n) + f(3n) + 3n²,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f(mn) = f(n) + f((m − l)n) + (m − 1)n².

После сложения этих равенств получим

f(mn) = mf(n) + (1 + 2 + 3 + ... + (m − 1))п².

Учитывая, что

,

имеем равенство

,

выполняющееся при всех натуральных m и n. В частности, при n = 1 оно запишется так:

(2)

Это равенство определяет функцию f на мно­жестве натуральных чисел.

Так как

,

,

то − единственное решение задачи .

Задача 2. Функция f: R → R при любых удовлетворяет равенству

f(ху) = f(x)f(y) − f(x+y) + 1, (3)

a f(1) = 2. Найдите:

а) f(n) для ;

б) для .

Решение. а) Пусть f — искомая функция. Тогда равенство (3) выполняется при всех дейст­вительных х и у. Сначала, полагая х = у = 0, приходим к равенству

f ²(0) – 2f(0) + 1 = 0,

из которого находим f(0) = 1. Потом, выполняя в равенстве (3) последовательно замены х на х + k, где k = 0, 1, ..., n  1 и, полагая у = 1, получим n равенств:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Так как по условию f(1) = 2, то после их сло­жения получим равенство:

f(х + n) = f(х) + n. (4)

Отсюда при условии, что х = 0 и х =  n, имеем формулы

f(n) = 1 + n, (5)

f(− n) = 1 − n, (6)

определяющие искомую функцию f соответст­венно на множестве натуральных чисел и на мно­жестве целых отрицательных чисел. Сопоставляя эти равенства, приходим к выводу, что равенство (5) определяет функцию на множестве целых чи­сел. Непосредственной проверкой убеждаемся, что f(n)=1+n — искомая функция.

б) Если в равенстве (3) положить у=п, , то после преобразований с учетом (4) и (5) полу­чим

f(nx) = nf(x) − п + 1. (7)

Для целых k и натуральных n, учитывая (5) и (7), имеем:

,

откуда

и . (8)

Полученное равенство (8) определяет искомую функцию на множестве рациональных чисел.

Задача 3. Функция f определена и непрерывна на множестве действительных чисел R и удовле­творяет двум условиям:

а) f(1) = 1;

б)

для всех

Найдите f.

Решение. Если х = у = 0, то f(0) = f(0) + f(0), а поэтому f(0) = 0. Теперь для

y = 0 и произвольного из условия б) получаем равенство:

f( |x| ) = f(x).

Если у = х, то имеем:

.

Предположим, что для n > 2 и произвольных выполняется равенство:

. (10)

Докажем, что оно выполняется и для n+1:

.

Следовательно, равенство (10), согласно мето­ду математической индукции, выполняется для всех и .

Так как, принимая во внимание (10),

,

то искомая функция — четная, а потому доста­точно ее рассматривать только для х > 0.

Выполняя в (10) замену х на х4n, приходим к равенству:

f(nx) = n² f(х),

из которого при х = 1 получаем равенство f(n) = n², определяющее функцию f на множестве нату­ральных чисел, а принимая во внимание ее чет­ность, − и на множестве целых чисел.

Пусть n — целое, а k — натуральное число. Тогда

откуда .

Таким образом, на множестве рациональных чисел искомая функция определяется формулой

f(r) = r², . (11)

Далее, используя непрерывность функции, ус­тановим, что на множестве иррациональных чи­сел, а следовательно, и на множестве действитель­ных чисел, искомая функция определяется фор­мулой

f(х) = х². (12)

Пусть х − произвольное иррациональное чис­ло, а (r_n) − последовательность рациональных чисел, сходящихся к этому числу:

(В частности, это может быть последовательность де­сятичных приближений с недостатком или избыт­ком.) Так как функция f непрерывная во всех точках числовой прямой, то она непрерывна и в точке х, а поэтому . Учитывая, что , имеем:

,

т.е. f(х) = х².

Таким образом, если функция f удовлетворяет равенству (9), то на множестве действительных чисел оно определяется формулой (12).

Убедимся, что найденная функция удовлетворяет условию задачи:

а) f(1) = 1² = 1,

б)

Следовательно, функция f(x) = x² является единственным решением функционального уравнения (9) и удовлетворяет условию: f(1) = 1.

Глава 5. О решении уравнений вида f(α(x))=f(β(x)).

Решение различных уравнений вида f(α(x)) = f(β(x)) будет основано на двух утверждениях.

Утверждение 1. Пусть функция f(u) строго моно­тонна (строго возрастает или строго убывает) на R. Тогда уравнение f(α(x)) = f(β(x)) равносильно уравнению α(x) = β(x).

Задача 1. (МГУ, химфак, 1989). Решим уравне­ние

(1)

Перепишем уравнение (5) в виде

. (1')

Функция имеет область существования R. Так как

для любого ,

то функция f(u) строго возрастает на R. Значит, по утверждению 1 уравнение (1') равносильно урав­нению

2х + 1 = − Зх, (1")

имеющему единственный корень х₁ = − 0,2.

Уравнение (1), равносильное уравнению (1"), имеет тот же корень.

Ответ: − 0,2.

Утверждение 2. Пусть функция f(u) имеет об­ласть существования  промежуток J, и пусть она строго монотонна на J. Тогда уравнение

f(α(x))=f(β(x)) равносильно системе

.

Примечание.

Отметим, что в системе можно опустить одно из двух условий: или , или (что мы и будем иногда делать в дальнейшем). Действитель­но, если для некоторого числа х₀ справедливо ра­венство α(x₀) = β(x₀) и одно из условий, например , то тогда справедливо и второе условие , так как α(x₀) = β(x₀).

Приведем несколько примеров применения ут­верждений 1 и 2.

Задача 2. Решим уравнение

. (2)

Решение. Область существования функции

есть промежуток J = [0; +∞). Функция f(u) стро­го возрастает на этом промежутке. Поэтому на ос­новании утверждения 2 уравнение (2) равносильно системе

(2')

Уравнение системы (2') имеет два решения х₁ =  5 и х₂ = 1. Из них неравенству системы (2') удовле­творяет только число х₁. Следовательно, система (2') и равносильное ей уравнение (2) имеют единствен­ное решение х₁.

Ответ:  5.