Глава 2. Решение функциональных уравнений методом разделения переменных.

Метод разделения переменных – это метод, хорошо известный в теории дифференциальных уравнений. Сущность его состоит в следующем. Пусть Р и Q некоторые функции одной переменной. Если равенство Р(у) = Q(x), в котором левая часть зависит только от переменной y, а правая – только от переменной x, выполняется для всех , то существует некоторая постоянная с такая, что Р(у) = Q(x) = с для всех х и у из множества G. Этот метод разделения переменных можно адаптировать к решению некоторых функциональных уравнений, содержащих свободные переменные. Универсальных рекомендаций по применению метода разделения переменных при решении функциональных уравнений нет, поэтому я проиллюстрирую этот метод, решая конкретные задачи.

Задача 1. Найдите все пары числовых функций f(x) и g(x), определенных на множестве всех действительных чисел и таких, что для любых х и у выполня­ется равенство

.

Решение. Разделим переменные, со­брав все выражения, зависящие от у в ле­вой части равенства, а от х - в правой:

.

Это равенство будет выполняться для всех действительных х и у только при условии, что обе его части будут постоян­ными:

.

Из последней системы находим функ­ции f(x) и g(x):

.

Несложно убедиться в том, что эти функции удовлетворяют заданному ра­венству при произвольной постоянной с.

Задача 2. Пусть а и b, а ≠ b − по­ложительные числа, отличные от 1. Най­дите все функции такие, что равенство

(1)

выполняется при любых действительных х и у.

Решение. Левая часть равенства сим­метрична относительно переменных:

f(x + y) =f(y + x).

Так как , то приходим к равенству

, которое перепишем следующим образом:

.

Если х ≠ 0 и у ≠ 0, то, разделяя пере­менные, получим равенство отношений .

В этом равенстве левая часть зависит только от переменной у, а правая − толь­ко от переменной х. Так как х и у из­меняются независимо друг от друга, то это возможно только при условии, что левая часть не зависит от у, а правая — от х, то есть, они постоянные:

, где с – некоторое число.

Отсюда имеем: , если х ≠ 0. Чтобы найти значение функции f в точке 0, положим в равенстве (1) х = у = 0 и получим, что f(0) = 0. Посколь­ку , если х = 0, то выражение, , где с – некоторая постоянная, определяет функцию f на множестве всех действительных чисел.

Определим, при каких значениях с функция будет решением функционального уравнения (1). Так как в равенствах

правые части равны при любом значении постоянной с, то левые части также рав­ны при соответствующих значениях с. Следовательно, все функции , где c - произвольная постоянная, удо­влетворяют равенству (1).

Задача 3. Найдите все пары многочле­нов f(x) и g(x) таких, что для всех х и у выполняется равенство

f(xy)=f(x)+g(x)f(y). (2)

Решение. Отметим, что тривиальные случаи, когда один из многочленов является многочленом нулевой степени, исследуются элементарно, поэтому рас­сматривать их не будем. Остановимся на определении других пар многочленов.

Из очевидного равенства f(xy) = f(yx) вытекает следующее равенство:

f(x)+g(x)f(y)=f(y)+g(y)f(x), которое запишем так:

f(x)(1-g(y))=f(y)(1 g(x)). (3)

Если g(t) ≠1 для всех t, то , где с ≠ 0 – некоторая постоянная. Поэтому f(x) = (1 – g(x))c. Для определения многоч­лена g(x) возвратимся к равенству (2), которое запишем с учетом определения функции f(x):

(1 – g(xy))c = (1 – g(x))c + g(x)(1 - g(y))c  g(xy) = g(x)g(y).

Таким образом, функция f(x) = (1 – g(x))c будет удовлетворять равенству (2) при произвольной постоянной с, если многоч­лен g(x) будет удовлетворять равенству g(xy) = g(x)g(y). Полученное равенство является известным функциональным уравнением, характеризующим одно из основных свойств степенной функции. Его решение g(x) = xn в классе непрерывных функций принадлежит известному французскому математику Коши. На множестве многоч­ленов эту функцию можно найти методом неопределенных коэффициентов.

Итак, имеем пары многочленов g(x) = хn и f(x) - (1 - хn)с, где , удовлетворяющих равенству (2) для всех х ≠ 1 при любых n и х ≠ −1, если n -четное.

Определим те значения а переменной х, для которых g(a)=1. Из равенства (3) при произвольном значении у и х = а получим равенство f(а)(1 − g(y))=0. Так как согласно договоренности g не является многочленом нулевой степени, то равенство может выполняться только тогда, когда f(a)=0. Возвратимся к равенству (2): если y = a, то получаем равенство f(ax)=f(x), из которого вытекает, что a=1 для произвольного многочлена, или a= −1 для многочленов, содержащих только четные степени переменных. Поэтому g(1)=1 для всех и g(−1)=1 для четных n, что согласовывается с построением многочлена g.

Следовательно, f(x)=(1−xn)c=0 и g(x)=xn, где n – натуральное число и c≠0 – произвольное действительное число, и есть искомые многочлены. Чтобы получить все пары многочленов, удовлетворяющих равенству (2), к ним нужно присоединить еще и такие пары: f(x)=0, g(x) – произвольный многочлен и f(x)=c, g(x)=0.

Глава 3. Уравнения вида f(u) + f(v) = f(u₁) + f(v₁).

Уравнения вида f(u) + f(v) = f(u₁) + f(v₁), для которых выполняется условие вида u+v=и₁+v₁ , достаточно часто встречаются среди конкурсных и олимпиадных заданий, при этом в методической литературе недостаточно вни­мания уделяется рассмотрению приема решения, основанного на понятии и свойствах выпуклой функции.

Пусть функция f(х) определена на промежутке X. Она называется строго выпуклой вниз (вверх) на X, если для любых u и v из X, u v и 0 < λ < 1 справедливо неравенство

f(λu + (1 − λ)v)>λf(u) + (1− λ)f(v).

Г еометрически это означает, что любая точка хор­ды ВС (т.е. отрезка с концами в точках В(u;f(u)) и C(v;f(v)), отличная от точек В и С, лежит выше (ниже) точки А графика функции f(х), соответствующей тому же значению аргумента (см. рисунок ниже). Отметим также, что условие u+v=и₁+v₁ означа­ет, что сегменты числовой прямой с концами в точках u, v и u₁, v₁ имеют общую середину. Далее функции, строго выпуклые вверх и вниз, будем называть строго выпуклыми.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть функция f(x) является строго выпуклой вниз на промежутке X, , u<u₁<v₁<v и u+v = и₁+v₁ . Тогда справедливо неравенство

f(u₁)+f(v₁)<f(u)+f(v).

Из теоремы 1 вытекает следующее утверждение, касающееся уравнения f(u)+f(v)=f(u₁) + f(v₁). (1)

Теорема 2. Если функция f(х) является строго выпуклой на промежутке X, функции

u=u(х), v=v(x), u₁= u₁(х), v₁=v₁(x)

такие, что при всех х из ОДЗ уравнения (1) их значения u(х), v(x), u₁(x), v₁(x) содержатся в X и выполнено условие u+v=и₁+v₁ (2), то уравнение (1) на ОДЗ равносильно совокупности уравнений

u(х) = u₁(х), u(х) = v₁(x). (3)

Задача 1. Решите уравнение

Решение. ОДЗ уравнения есть отрезок −15≤x≤17. Положим

u=17−x, v=x+15,

тогда u + v = 32= , d = 4 = 2 , получаем, что выполнены все условия теоремы 2 и, значит, уравнение на ОДЗ равносильно уравнению

x + 15=16

x = 1

Ответ: x = 1.

Задача 2. Решите уравнение .

Решение. ОДЗ уравнения есть отрезок −77 ≤ x ≤ 20.

Положим

u = 77 + x, v = 20 − x,

тогда u + v = 97 = 81 + 16 = 3⁴ + 2⁴.

Поэтому возьмем u₁ = 34, v₁ = 24 и из теоремы 2 следует, что уравнение на ОДЗ равносильно совокупности двух уравнений

77 + x = 81, 77 + x = 16.

Отсюда получаем, что x = 4, x = − 61.

Ответ: x = 4, x = − 61.