Глава 1. Теоремы о функциональных уравнениях.

Т

n раз

еорема 1. Корни уравнения являются корнями уравнения .

Д

n раз

n-1 раз

оказательство. Пусть – корень уравнения , т.е. . Тогда справедливы неравенства , , …, .

Отсюда следует, что , т.е. является корнем уравнения .

Теорема 2. Если – возрастающая функция на отрезке и , то на данном отрезке уравнения и равносильны.

Доказательство. Пусть – корень уравнения , т.е. . Предположим, что не является корнем уравнения , т.е. . Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что . Тогда в силу возрастания функции справедливы неравенства .Так как , то из приведенных выше неравенств следует . Таким образом, получили ложное неравенство. А это значит, что .

Отсюда и из теоремы 1 следует справедливость теоремы 2.

Следствие 1. Если функция возрастает для любого , то уравнения и равносильны.

Следствие 2. Если функция возрастает на своей области определения, то уравнения и равносильны.

Теорема 3. Если – убывающая функция на отрезке , n – нечетное и , то на данном отрезке уравнения и равносильны.

Д

n раз

оказательство. Пусть является корнем уравнения , т.е. .

Предположим, что не является корнем уравнения , т.е. . Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что . Тогда в силу убывания функции на отрезке получаем неравенства , , и т.д.

Т

n раз

n-1 раз

ак как n – нечетное, то .

П

n раз

оскольку , то из последнего неравенства получаем

n-1 раз

. Так как – убывающая функция, то

n раз

, т.е. .

Получили противоречие тому, что по предположению . Следовательно, . Отсюда с учетом теоремы 1, следует справедливость теоремы 3.

Следствие 3. Если функция убывает для любого и – нечетное, то уравнения и равносильны.

Следствие 4. Если функция убывает на своей области определения и – нечетное, то уравнения и равносильны.

Теорема 4. Если – возрастающая (или убывающая) функция на области допустимых значений уравнения ( , , – некоторые функции и ) и равносильны.

Доказательство. 1) Пусть – корень уравнения , т.е. . Предположим, что не является корнем уравнения , т.е. . Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что . Отсюда в зависимости от того, какой является функция на области допустимых значений уравнения возрастающей или убывающей, получаем неравенство или , соответственно. В каждом из двух случаев имеем ложное неравенство. Значит, .

2) Пусть – корень уравнения , т.е. . Отсюда следует .

Следствие 5. Если – возрастающая (или убывающая) функция на области значений и , то уравнения и равносильны.

Теорема 5. Если четная функция определена на отрезке и возрастает (или убывает) при , то на данном отрезке уравнение равносильно совокупности уравнений и при условии, что и .

Доказательство проводится по аналогии с доказательством теоремы 4. При этом используется четность функции , т.е. если , то .

Анализ функции на монотонность удобно осуществлять с помощью производной: если функция дифференцируема отрезке и ( ), то функция является возрастающей убывающей на данном отрезке.

Задача 1. Решите уравнение , где квадратный корень берется n раз (n ≥ 2).

Р

n раз

ешение. Из данного уравнения следует, что x ≥ 2. Введем функцию . Тогда уравнение принимает вид функционального уравнения (1). Так как функция возрастает при x ≥ 0,

то уравнение (1) равносильно уравнению x = f(x), т.е. уравнение (1) равносильно уравнению , которое имеет единственный положительный корень .

Ответ: .

Задача 2. Решить уравнение

x¹⁰ – (12x+13)⁵ = 23sin(12x + 13) – 23sin x²

Решение. Приведем исходное уравнение к виду

x¹⁰ + 23sin x² = (12x+13)⁵ + 23sin(12x + 13)

Рассмотрим непрерывную функцию f(t) = t⁵ + 23sin t . Данная функция определенна для любого аргумента, нечетная, т.к. f(t) = (– t⁵ + 23sin(–t) = – (t⁵+23sin t) = – f(t) . Найдем ее производную: . Покажем, что на всей области определения.

При :

, а при :

.

Следовательно, f(t) возрастает на всей числовой прямой. Значит, каждое свое значение функция принимает в точности при одном значении аргумента, а стало быть, уравнение f(t₁) = f(t₂) равносильно уравнению t₁ = t₂ . Записав исходное уравнение в виде

. Ответ -1; 13.

Задача 3. Решить уравнение

87cos(x²) + (8 – 6x)⁴ = x⁸ + 87cos(8 – 6x) .

Решение. Приведем исходное уравнение к виду

x⁸ – 87cos(x²) = (8 – 6x)⁴ – 87cos(8 – 6x).

Рассмотрим непрерывную функцию f(t) = t⁴ – 87cos t .Данная функция определена для любого значения аргумента, четная, т.к. f(– t) = f(t). Найдем ее производную: .

При : , а при :

.

Таким образом, при , следовательно, f(t) возрастает на промежутке . Значит, каждое свое значение из множества значения E(f), кроме f(0), функция принимает в двух симметричных относительно t = 0 точках, а стало быть, уравнение f(t₁) = f(t₂) равносильно уравнению . Записав исходное уравнение в виде f(x2)=f(8-6x) , получим

Ответ. , , , .