1. Модель Мальтуса

Рассмотрим биологический вид, у которого нет врагов, а кормовая база в избытке. Обозначим численность вида x. Тогда скорость прироста численности будет пропорциональна числу уже имеющихся особей: (альфа – прирост)

Эта модель весьма упрощенна, но в некоторых случаях, например, при рассмотрении размножения бактерий, эта модель оказывается вполне приемлемой. Впервые она была предложена в XVIII веке Мальтусом.

Уточним модель Мальтуса, ограничив экспоненциальный рост численности особей. Если популяция живет на ограниченной территории, то возникает конкуренция за жизненное пространство, а встречи особей друг с другом приводит к распространению болезней. Убыль популяции, связанная с этими факторами, пропорциональна частоте встреч особей друг с другом, т.е.х². Тогда уравнение динамики популяции примет вид

(бета-убыль популяции)

- уравнение Ферхюльста или логистическое уравнение. Многие процессы не только в биологии, но и в экономике и социологии описываются логистическим уравнением.

Модель Вольтерры. В 1931 году Витто Вольтерра предложил модель хищник-жертва. Пусть на замкнутой территории обитают два вида: вегетарианцы, питающиеся подножным кормом, имеющимся в избытке, и хищники, охотящиеся на них. Если бы хищников не было, то жертвы размножались бы неограниченно и их численность описывалась бы уравнением Мальтуса. Если бы не было жертв, то хищники от бескормицы погибли бы.

Росту численности жертв препятствуют их встречи с хищниками, частота которых пропорциональна как числу жертв, так и числу хищников. Тогда скорость изменения численности жертв описывается уравнением

(бета – убыль жертв при встрече с хищниками)

Встреча хищника с жертвой увеличивает вероятность выживания хищника, т.е. способствует приросту популяции хищников:

(дельта – частота смерти жертвы в рез-те встреч

Таким образом, модель хищник-жертва описывается системой уравнений