Lineární algebra

Vektory

• uspořádané n-tice reálných čísel (a₁,...,a_n)

• Vektory a = (a₁,...,a_n), b = (b₁,...,b_n) z V_n jsou si rovny, jestliže jsou si rovny odpovídající souřadnice těchto vektorů

Lineární kombinace vektorů

• Říkáme, že vektor x je lin. kombinací vektorů x₁…..x_r jestliže existují reálná čísla c₁…..c_r taková, že platí: x=c₁x₁+ c₂x₂+…+ c_rx_r.

• Reálná čísla c₁…..c_r se nazývají koeficienty lineární kombinace. Pokud všechny koeficienty lineární kombinace jsou rovny nule, hovoříme o tzv. triviální lineární kombinaci

Lineární závislost a nezávislost vektorů

• vektory x₁, ..., x_r se nazývají LZ, jestliže existuje jejich netriviální LK, která je rovna nulovému vektoru, tj. jestliže existují reálná čísla c₁,...,c_r , z nichž je alespoň jedno různé od nuly

• v opačném případě jsou LN

• postačující podm: Vektory x₁, ..., x_r jsou LZ tehdy a jen tehdy, když alespoň jeden z nich je LK ostatních

Skalární součin vektorů

• skalární součin vektorů x = (x₁, ..., x_n), y (y₁, ..., y_n) je reálné číslo, které je definováno vztahem

xy = x₁y₁ + ...+ x_ny_n

Matice

• Matice A,B typu m x n jsou si rovny (značíme A=B), jestliže pro všechna i=1,..., m a j=1,...,n je a_ij =b_ij

Nulová matice

• Matice 0 typu m x n, pro jejíž prvky platí o_ij=0 (i=1,..., m; j=1,...,n) (Všechny prvky rovny nule)

Čtvercová matice

• Matice typu n x n se nazývá čtvercová matice řádu n

Jednotková matice

• Na hlavní diagonále má 1, jinak jsou všude 0 – musí být čtvercová.

Hodnost matice

• Maximální počet LN řádků matice A se nazývá hodnost matice A.

Věta o hodnosti trojúhelníkové matice

• Je-li A^ trojúhelníková matice typu m x n, pak její hodnost je rovna počtu řádků matice A^ , tj. h(A^) = m

Trojúhelníková matice

• Matice A typu n x m je trojúhelníková pokud: - pod diagonálou jsou nuly

- na diagonále jsou nenulové prvky

- není více řádků než sloupců

Věta o elementárních řádkových úpravách matice

• Hodnost matice se nezmění, jestliže v ní uděláme následující tzv. elementární řádkové úpravy:

• (e1) zaměníme pořadí řádků matice

• (e2) vynásobíme libovolný řádek matice nenulovým reálným číslem

• (e3) přičteme k libovolnému řádku matice LK ostatních

• (e4) vynecháme řádek matice, který je LK ostatních

• Schéma pro určení hodnosti matice

• Jestliže v matici A zaměníme pořadí sloupců, pak takto vzniklá matice má s maticí A stejnou hodnost.

Poznámka: Určení LZ či LN pomocí hodnosti matice

• mějme m vektorů z Vn. Tyto vektory zapíšeme do řádků matice. Dostaneme matici typu m x n, kterou označíme A. Pak platí h(A) = m ...vektory jsou LN, h (A) < m ... vektory jsou LZ

Transponovaná matice a její hodnost

• Matice, která vznikne z matice A záměnou sloupců za řádky, při zachování pořadí.

• Jsou-li A a A´ navzájem transponované matice, pak hodnost matice A je rovna hodnosti matice A´, tj. h(A) = h(A´)

Soustava lineárních rovnic

• Mějme soustavu m lineárních rovnice o n neznámých x₁,…, x₂ (m, n jsou daná přirozená čísla)

Obecné a partikulární řešení

• Partikulární - Dosadíme-li za volitelné neznámé konkrétní reálná čísla.

• Obecné – Partikulární řešení soustavy, ve kterém jsou volitelné neznámé rovny nule.

Frobeniova podmínka

• Soustava lineárních rovnic má řešení tehdy a jen tehdy, když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy.