7.2. Особливості рішення матричних ігор з двома ігроками та можливості їх застосування в сфері прийняття політичного рішення в міжнародних відносинах

Матричну гру двох гравців із нульовою сумою можна розглядати як наступну абстрактну гру двох гравців.

Перший гравець має m стратегій i = 1, 2, ..., m, другий – n стратегій j = 1, 2, ..., n. Кожній парі стратегій (i, j) поставлено у відповідність число а_ij, яке виражає виграш першого гравця за рахунок другого гравця, якщо кожен з гравців візьме свою стратегію.

Кожен із гравців робить один хід: перший гравець вибирає свою i-ту стратегію ( ), а другий – свою j-ту стратегію ( ), після чого перший одержує виграш а_ij за рахунок другого (якщо а_ij < 0, то це означає, що перший гравець винен другому суму |а_ij|). На цьому гру закінчують.

Кожну стратегію гравців ,  часто називають чистою стра­тегією.

Якщо розглянути матрицю

                               ,

то проведення кожної партії матричної гри за матрицею А зводиться до вибору першим гравцем i-го рядка, а другим – j-го стовпця й одержання першим гравцем  (за рахунок другого) виграшу а_ij.

Головним у дослідженні ігор є поняття оптимальних стратегій гравців. У це поняття інтуїтивно вкладають такий зміст: стратегія гравця є оптимальною, якщо застосування цієї стратегії забезпечує йому найбіль­ший гарантований виграш за будь-яких стратегій іншого гравця. Враховуючи це, перший гравець досліджує матрицю виграшів А у такий спо­сіб: для кожного значення i ( ) визначають мінімальне значення ви­грашу, залежно від стратегій другого гравця:

                                                    ( ),

тобто мінімальний виграш для першого гравця за умови, що він візьме свою i-ту чисту стратегію, далі із цих мінімальних виграшів відшукують таку стратегію i = i_про, за якої цей мінімальний виграш буде максимальним, тобто знаходять

                                             .                                          

Число , визначене за вищенаведеною формулою, називають нижньою чистою ціною гри; воно показує, який мінімальний виграш може гарантувати собі перший гравець, застосовуючи свої чисті стратегії за будь-яких дій другого гравця.

Другий гравець за своєї оптимальної поведінки прагне завдяки своїм стратегіям максимально зменшити виграш першого гравця. Тому для другого гравця відшукують , тобто визначають найбільший можливий виграш першого, за умови, що другий гравець застосує свою j-ту чисту стратегію, а далі відшукає таку свою j = j₁ стратегію, за якої перший гравець одержить мінімальний виграш, тобто знаходить

                                              .                                          

Число , обчислене за формулою, називають чистою верхньою ціною гри; воно показує, який максимальний виграш завдяки своїм стра­тегіям може собі гарантувати перший гравець.

Інакше кажучи, застосовуючи свої чисті стратегії, перший гравець може забезпечити собі виграш не менше , а другий гравець завдяки застосуванню своїх чистих стратегій може не допустити виграшу першого гравця більшого за .

Якщо в грі з матрицею А , то кажуть, що така гра має сідлову точку в чистих стратегіях та чисту ціну гри .

Сідлова точка – це пара чистих стратегій (i_про, j_о) першого і другого гравців відповідно, за яких досягають рівності . Це поняття має такий зміст: якщо один з гравців дотримувався стратегії, що відповідає сідловій точці, то інший гравець не зможе зробити краще, ніж дотримуватись стратегії, що відповідає сідловій точці.

Математично це можна записати й так:

                                                  ,                                               

де i, j – будь-які чисті стратегії першого і другого гравців відповідно; (i_про, j_о) – стратегії, що мають сідлову точку.

У такий спосіб, виходячи з вищенаведеного запису, сідловий елемент  є мінімальним у i_о-му рядку і максимальним у j_о-му стовпчику матриці А. Відшукання сідлової точки матриці А виконуємо так: у матриці А послідовно в кожному рядку знаходимо мінімальний елемент і перевіряємо, чи є цей елемент максимальним у своєму стовпчику. Якщо так, то він і є сідловим елементом, а пара стратегій, що йому відповідає, утворює сідлову точку. Пару чистих стратегій (i_про, j_о) першого і другого гравців, що утворює сідлову точку і сідловий елемент , називають розв’язком гри. При цьому i_про і j_про називають оптимальними чистими стратегіями для першого і другого гравців відповідно.

Приклад:

.

Сідловою точкою є пара (i_про = 3; j_про = 1), при якій .

Зазначимо, що хоча виграш у ситуації (3, 3) також дорівнює  ця точка не є сідловою, тому що цей виграш не є макси­мальним серед виграшів третього стовпчика.

Приклад:

.

З аналізу матриці виграшів бачимо, що , тобто дана матриця не має сідлової точки. Якщо перший гравець вибирає свою чисту стратегію i = 2, то другий гравець, вибравши свою мінімаксну j = 2, програє тільки 20. У цьому випадку першому гравцю вигідно вибрати стратегію j = 1, тобто відхилитися від своєї чистої максимінної стратегії і виграти 30. Тоді другому гравцю буде вигідно вибрати стратегію j = 1, тобто відхилитися від своєї чистої мінімаксної стратегії і програти 10. У свою чергу перший гравець має вибрати свою 2-гу стратегію, щоб виграти 40, а другий відповісти вибором 2-ї стратегії тощо.

Дослідження в матричній грі починають зі знаходження її сідлової точки в чистих стратегіях. Якщо матрична гра має сідлову точку в чистих стратегіях, то знаходженням цієї сідлової точки закінчується дослідження гри. Якщо ж у грі немає сідлової точки, тоді слід знайти нижню й верхню чисті ціни цієї гри, які вказують, що перший гравець не може сподіватись на виграш, більший за верхню ціну гри, і може бути впевненим в одержанні виграшу, не меншого за нижню ціну гри. Поліпшення рішень матричних ігор варто шукати у використанні таємності застосування чистих стратегій і можливості багатократного повторення ігор у вигляді партії. Цього результату досягають шляхом застосування чистих стратегій випадково із визначеною ймовірністю.

Змішаною стратегією гравця називають повний набір імовірностей застосування його чистих стратегій.

Таким чином, якщо перший гравець має m чистих стратегій 1, 2, ..., m, то його змішана стратегія x – це набір чисел x = (x₁, ..., x_m), які задо­вольняють відношенню

                                         

Аналогічно для другого гравця, який має n чистих стратегій, змішана стратегія y – це набір чисел:

                         

Через те що застосування гравцем однієї чистої стратегії виключає застосування іншої, чисті стратегії є несумісними подіями, до того ж вони є єдиними можливими подіями.

Чиста стратегія є окремим випадком змішаної стратегії. Дійсно, якщо в змішаній стратегії якусь i-ту чисту стратегію застосовують з імовірністю 1, то всі інші чисті стратегії не розглядають. Ця i-та чиста стратегія є окремим випадком змішаної стратегії. Для збереження таємності кожен гравець має вибирати свої стратегії, незалежно від вибору іншого гравця.

Середній виграш першого гравця в матричній грі з матрицею А виражають у вигляді математичного очікування його виграшів:

                                    

Перший гравець має на меті за рахунок зміни своїх змішаних стратегій х максимально збільшити свій середній виграш Е(А, х, y), а другий – за рахунок своїх змішаних стратегій зробити Е(А, х, y) мінімальним, тобто для розв’язання гри необхідно знайти такі х і y, за яких досягають верхньої ціни гри:

                                             

Аналогічною має бути ситуація й для другого гравця, тобто нижня ціна гри є такою:

                                          

Подібно до ігор, які мають сідлові точки в чистих стратегіях, дамо визначення: оптимальними змішаними стратегіями першого і другого гравців називають такі набори х^о, у^о відповідно, які задовольняють рівності

              

Величину Е(А, х^о, у^о) називають ціною гри і позначають через v.

Існує й інше визначення оптимальних змішаних стратегій: х^о, у^о – оптимальні змішані стратегії першого і другого гравців відповідно, якщо вони утворюють сідлову точку

                            

Оптимальні змішані стратегії та ціну гри називають розв’язком матричної гри.

Для матричної гри з будь-якою матрицею А величини  і  існують і є рівними.

Для знаходження розв’язку в матричних іграх використовують різні математичні підходи. Одним з них є використання добре розробленої методики розв’язання задач лінійного програмування.

Припустимо, що ціна гри додатна (v > 0). Якщо це не так, то завжди можна підібрати таке число, додавши яке до всіх елементів матриці виграшів, отримаємо матрицю з додатними елементами, і отже, із додатним значенням ціни гри. При цьому оптимальні змішані стратегії обох гравців не змінюються.

Отже, нехай дано матричну гру з матрицею А порядку  Оптимальні змішані стратегії х = (х₁, ..., х_m), y = (y₁, ..., y_n) першого і другого гравців відповідно і ціна гри v мають задовольняти співвідношенням:

                                                                                  (7.1)

                                                                                  (7.2)

Розділимо всі рівняння та нерівності в (10.4) і (10.5) на v (це можна зробити, тому що за припущенням v > 0) і введемо позначення:

                                   ,   .

Тоді (7.1) і (7.2) можна переписати у вигляді:

                            , ,   ,

                          , ,   .

Оскільки перший гравець прагне знайти такі значення х_i, а отже, і p_i, щоб ціна гри v була максимальною, то розв’язок першого завдання зводиться до знаходження таких невід’ємних значень , за яких

                                          , .                                        (7.3)

Оскільки другий гравець прагне знайти такі значення y_j і, отже, q_j, щоб ціна гри v була найменшою, то розв’язок другого завдання зводиться до знаходження таких невід’ємних значень , за яких

                                          , .                                        (7.4)

Формули (7.3) і (7.4) виражають двоїсті одна одній задачі лінійного програмування (ЛП).

Вирішивши їх, отримаємо значення ,  і v. Тоді змішані стратегії, тобто x_i і y_j обчислюють за формулами

                                                

Рішення матричної гри порядку 2*2

У загальному випадку гра 2*2 визначається матрицею

Насамперед, необхідно перевірити, чи є в даній грі сідлова точка. Якщо так, то гра має рішення в чистих стратегіях, причому оптимальними стратегіями гравців 1 та 2 будуть чиста максимінна і чиста мінімаксна стратегії.

Якщо ж гра з матрицею виграшів А не має чистих стратегій, то обидва гравця мають тільки такі оптимальні стратегії, що використовують усі свої чисті стратегії з позитивними ймовірностями.

Змішана стратегія сторони А позначається SA (p1, р2), де р1, р2 – ймовірності застосування стратегії А1 та А2. Причому р1 + р2 =1. Аналогічно для сторони В – SB (q1, q2). Виграш, що буде відповідати цьому рішенню називається ціна гри.

Розрахунки проводяться за наступними формулами (лінійного програмування):

SA = (p1, р2)

SB = (q1, q2)

Рішення (у змішаних стратегіях) геометричним способом матричних ігор

Розглянемо гру, задану платіжною матрицею:

На площині ХУ введемо систему координат і на осі Х відкладемо відрізок одиничної довжини А1А2 , кожній точці якого поставимо у відповідність деяку змішану стратегію гравця 1 (А-стратегії) – х, (1-х). Зокрема, точці А1 (0,0) відповідає стратегія А1, точці А2 (1,0) – стратегія А2.

У точках А1 та А2 побудуємо перпендикуляр і на отриманих прямих будемо відкладати виграш гравців. На першому (ліворуч) перпендикулярі відкладемо виграші гравця 1 при стратегії А1, тобто - 2, 3, 11. А на другому перпенидикулярі (праворуч) – виграші гравця 1 при стратегії А2 – 7, 5, 2.

Таким чином, якщо гравець 1 застосує стратегію А1 , то виграє при стратегії В1 гравця 2 – 2, при стратегії В2 – 3, при стратегії В3 – 11. Числам 2, 3, 11 на вертикальній осі ліворуч відповідають точки В1, В2, В3. Аналогічно при стратегії А2, виграші гравця 1 при стратегії В1 – 7, В2 – 5, В3 – 2. Ці числа визначають однойменні точки на перпендикулярі, побудованому в точці А2. З’єднуючи між собою точки В1 (для А1) та В1 (для А2), В2 та В2, В3 та В3 одержимо три прямі.

Ордината точки перетинання стратегій В3 та В2 дає величину виграшу - ціну гри. Абсцисса цієї точки дає ймовірності обох стратегій р1 (х) та р2 (1-х). Нижня гарантована границя виграшу виділена на Мал. 7.1. жирною лінією.

Гра 2*3 має наступне геометричне рішення (Див. Мал.7.1):

Мал.7.1.

Природним узагальненням матричних ігор є нескінченні антагоністич­ні ігри, у яких хоча б один із гравців має нескінченну кількість можливих стратегій. Формалізуючи реальну ситуацію з нескінченною кількістю варіантів вибору, можна кожну стратегію зіставити з визначеним числом з одиничного інтервалу, тому що завжди можна простим перетворенням будь-який інтервал перевести в одиничний і навпаки.