Тема 7. Методи теорії ігор при прийнятті політичних рішень

7.1.Основні положення і поняття теорії ігор

Переважну більшість міжнародних, політичних, соціально-економічних рішень доводиться приймати з урахуванням суперечливих інтересів, що стосуються різних осіб, країн, організацій або ж різних аспектів явища, що розглядається, або з урахуванням наявності всіх згаданих комбінацій. У таких випадках неможливо застосувати традиційні методи прийняття рішень. Характерними є ситуації, коли рішення, оптимальні для однієї сторони, зовсім не є оптимальними для іншої, і результат рішення від усіх конфліктуючих сторін.

Конфліктний характер таких задач не є припущенням конфронтації між учасниками, а свідчить про різні інтереси. Можливість аналізувати подібні ситуації надає спеціальний математичний апарат – теорія ігор.

Математична теорія ігор – це прийняття рішення групою учасників. Під поняття гри підходить будь-яка ситуація з раціональними, оптимізуючими суб’єктами (учасниками).

Теорія ігор – це математична дисципліна, що вивчає питання поведінки учасників конфліктних ситуацій та має на меті виробити оптимальну для кожного з учасників стратегію такої поведінки. Конфліктною при цьому називають ситуацію, коли гравці мають різні цілі (різні функції виграшу) та можуть вибирати різні засоби досягнення своїх цілей (стратегії).

Класифікацію ігор можна проводити за кількістю гравців і стратегій, за характером взаємодії гравців, характером виграшу, за кількістю ходів, станом інформації тощо.

Залежно від кількості гравців розрізняють ігри двох та n гравців. Ігри трьох і більше гравців менш досліджені через принципові складності й технічні можливості отримання розв’язку.

За кількістю стратегій ігри поділяють на скінченні та нескінченні. Якщо в грі всі гравці мають скінченне число можливих стратегій, то її називають скінченною. Якщо ж хоча б один із гравців має необмежену кількість можливих стратегій, то гру називають нескінченною.

За характером взаємодії ігри поділяються на такі:

·   безкоаліційні (гравці не мають права вступати в угоди, утворювати коаліції);

·   коаліційні (кооперативні), з дозволом вступати в коаліції.

У кооперативних іграх коаліції визначають заздалегідь.

За характером виграшу ігри класифікують так: ігри з нульовою сумою (загальний капітал усіх гравців не змінюється, а перерозподіляється між гравцями; сума виграшів усіх гравців дорівнює нулю) та ігри з ненульовою сумою.

За виглядом функцій виграшу ігри поділяють на матричні, біматричні, безупинні, опуклі, сепарабельні, типу дуелей тощо.

Матрична гра – це скінченна гра двох гравців із нульовою сумою, у якій задано виграш першого гравця у вигляді матриці (рядок матриці відповідає номеру застосованої стратегії першого гравця, стовпчик – номеру застосованої стратегії другого гравця; на перетині рядка й стовпця матриці – виграш першого гравця, що відповідає застосованим стратегіям). Для матричних ігор доведено, що будь-яка з них має рішення і його можна легко знайти шляхом зведення гри до задачі лінійного програмування.

Біматрична гра – це скінченна гра двох гравців із ненульовою сумою, у якій виграші кожного гравця можна задати матрицями окремо для відповідного гравця (у кожній матриці рядок відповідає стратегії першого гравця, стовпчик – стратегії другого гравця, на перетині рядка й стовпця в першій матриці знаходиться виграш першого гравця, у другій матриці – виграш другого гравця). Для біматричних ігор також розроблено теорію оптимальної поведінки гравців, однак пошук розв’язків для таких ігор складніший, ніж для звичайних матричних.

Неперервною вважають гру, в якій функція виграшів кожного гравця є неперервною, незалежно від стратегій. Доведено, що ігри цього класу мають розв’язки­­­­­­­­­­­­­, ­однак практично не розроблено прийнятних методів їх знаходження.

Якщо функція виграшів є опуклою, то таку гру називають опуклою. Для таких ігор розроблено прийнятні методи рішення, суть яких у відшуканні чистої оптимальної стратегії (визначеного числа) для одного гравця та ймовірностей застосування чистих оптимальних стратегій для іншого гравця. Таке завдання розв’язують порівняно легко.

Грою називається будь-яка конфліктна ситуація, яка досліджується в теорії ігор і являє собою спрощену схематизовану модель ситуації.

Будь-яка гра містить у собі три елементи: учасників гри (гравців), правила гри і оцінку результатів дій гравців. Структуру ігор можна описати наступною структурою – гравці, стратегії, виграші.

Гравцем (особою, стороною чи коаліцією) називається окрема сукупність інтересів, що відстоюється в грі. Якщо дану сукупність інтересів відстоюють кілька учасників гри, то вони розглядаються як один гравець. Гравці, що мають протилежні відносно один одного інтереси, називаються супротивниками.

Стратегії – доступні для гравців дії, у загальному випадку – це набір правил і обмежень.

Ситуації – можливі результати конфлікту. Кожна ситуація – результат вибору кожним гравцем своєї стратегії.

Вивченням математичних особливостей «теорії ігор» займається такий розділ математики, який історично дістав назву дослідження операцій.