6.2. Основні принципи використання методу аналізу ієрархій

Метод аналізу ієрархій (МАІ) – це систематична процедура, що ґрунтується на ієрархічному представленні елементів, які визначають суть проблеми.

Проблема розбивається на простіші складові з наступним оцінюванням особою, що приймає рішення, відносного ступеня взаємодії елементів отримуваної ієрархічної структури.

У методі використовуються жорсткі оцінки в шкалі відношень. МАІ будується на принципі ідентичності та декомпозиції й включає процедури синтезу множинних тверджень, отримання пріоритетності критеріїв та знаходження альтернативних рішень.

Принцип ідентичності та декомпозиці передбачає структурування проблем у вигляді ієрархії або мережі як першого етапу МАІ.

За характером зв’язків між критеріями та альтернативами визначається два типи ієрархій:

• Ієрархії, в яких кожен критерій, що має зв’язок з альтернативами, зв’язаний із усіма альтернативами, що розглядаються (розглядаємо ієрархії першого типу);

• Ієрархії, в яких кожен критерій, що має зв’язок з альтернативами, зв’язаний не з усіма альтернативами, що розглядаються.

У МАІ є три методи порівняння альтернатив: попарне порівняння; порівняння альтернатив щодо стандартів і порівняння альтернатив копіюванням (коли відсутні оцінки деяких альтернатив за деякими критеріями).

Проблема, що її потрібно вирішити, у більшості випадків зводиться до обґрунтування вибору певної альтернативи з числа можливих, які характеризуються складною ієрархією критеріїв.

Останнім рівнем цієї ієрархії (по суті мультидерева) є рівень листя, на якому знаходяться альтернативи, а передостаннім, безпосередньо з ним пов’язаним, - рівень критеріїв оцінювання якості альтернатив.

Вищі рівні відображають агреговані критерії та аспекти проблеми, а кореневі дерева відповідає власне проблема, що повинна бути розв’язана.

Основним варіантом представлення проблеми є ієрархія, в якій альтернативні варіанти оцінюються за всіма критеріями передостаннього рівня. В інших випадках використовуються модифікації МАІ.

Побудова ієрархії починається з окреслення проблеми дослідження. Далі будується власне ієрархія, що включає мету (призначення), якій відповідає коріння ієрархії, проміжні рівні (аспекти мети, мета-критерії, критерії) і альтернативи, що формують найнижчий ієрархічний рівень (листя).

Елементи задачі в МАІ порівнюються попарно відносно їх дії (ваги, інтенсивності) на спільну для них характеристику. Якщо В=(В1....Вn) – множина елементів, а W=(w1,…..wn) – відповідно їх ваги або інтенсивності, то елементи матриці їх порівняльної можливості А={аij} визначається за формулою aij=wi/wj. Якщо W невідомий, то попарні порівняння реалізуються на основі суб’єктивних тверджень, що оцінюються за певною шкалою, і за цими даними знаходиться.

У випадку ієрархічного представлення проблем матриця складається для порівняння відносної важливості критеріїв другого рівня відносно загальної мети першого рівня (кореня ієрархії), далі будуються такі ж матриці для парних порівнянь наступного рівня відносно елементів попереднього, тобто процес побудови матриць попарних порівнянь шляхом опитування експертів реалізується „згори-донизу”.

В ієрархії виділяють елементи двох типів: елементи-предки й елементи-нащадки.

Елементи-нащадки впливають на відповідні елементи попереднього рівня ієрархії, що є стосовно них елементами-предками.

Матриці парних порівнянь будуються для всіх елементів-нащадків, що належать до відповідного елемента-предка.

Парні порівняння реалізуються в термінах домінування одного елемента над іншим. Отримані твердження висловлюються в цілих числах з урахуванням 9-ти бальної шкали. Значення елементів цих матриць визначаються в результаті опитування експертів. Як результат після порівнянь у МАІ для множини нащадків кожного предка отримується позитивна обернено симетрична матриця. Парні порівняння реалізуються в шкалі відношень, тобто в термінах домінування одного з елементів-нащадків певного предка над іншим.

Для реалізації суб’єктивних парних порівнянь у МАІ використовується наступна дев’ятибальна шкала:

Бал k	Визначення	Примітка
1	Рівна важливість	Рівний вклад двох видів діяльності в мету
3	Помірна перевага	Легка перевага одного виду діяльності над іншим
5	Суттєва перевага	Відчутна перевага одного виду діяльності над іншим
7	Значна перевага	Практично значна перевага одного виду діяльності над іншим
9	Дуже велика перевага	Очевидна перевага - домінування одного виду діяльності над іншим
2,4,6,8	Проміжні значення	Застосовуються в перехідних випадках
1/k	Обернені величини	Використовуються для оцінки непереважаючих видів діяльності

Матриця попарних порівнянь будується для кожного елемента – предка, її розмір n*n визначається кількістю безпосередніх нащадків n у цього елемента-предка.

Якщо елемент-нащадок Bi домінує – є кращий, ніж інший елемент – нащадок Bj, то експерт визначає ступінь домінування, використовуючи наведену вище шкалу в термінах визначень, і відповідне значення в балах присвоюється елементу aij, а значення 1/aij – елементу aij (оскільки природнім чином якщо Bi є кращим ніж Bj в aij разів, то Bj „кращий” за Baij в 1/aij разів, або що еквівалентно, Bj гірший за Bi aij разів). Отже, матриця попарних порівнянь є обернено симетричною, тобто для всіх її елементів aij=1/aij, а елементи головної діагоналі є одиницями.

У процесі реалізації попарних порівнянь доцільно формулювати запитання наступним чином:

Який з двох варіантів важливіший чи більш впливає?

Який з двох варіантів імовірніший?

Який з двох варіантів має більшу перевагу?

У тих випадках, коли важко розрізнити стільки проміжних градацій, може використовуватися шкала з меншим числом градацій (гранично: 1-об’єкти рівнозначні, 2 – перевага одного об’єкта над іншим).

Локальні пріоритети та методи їх отримання

Локальним завданням дослідника є визначення „ваг” кожного з нащадків W=(w1,…wn), відносно всіх вершин ієрархії (за винятком листя) і, звичайно, було б ідеальним варіантом, якщо б ОПР чи експерт могли б безпосередньо вказати ці ваги. Однак безпосереднє призначення вдається здійснити лише для найпростішого випадку – якщо є два елементи. Якщо ж елементів нащадків більше, ніж три, зустрічаємося з суттєвими складнощами – оскільки в цьому випадку твердження експерта будуть суперечливими та ненадійними, що викликано психологічними особливостями людини-експерта та підтверджено багатьма дослідженнями.

Для експерта значно простіше здійснити ряд попарних порівнянь нащадків між собою, аніж спробувати відразу присвоїти їм певні значення „ваг”, які відображають вклад того чи іншого елемента-нащадка в елемент-предок. Цим і пояснюється необхідність застосування методу попарних порівнянь, тому що ця інформація надалі використовується для отримання значень ваг та оцінювання послідовності тверджень експерта.

Цей крок і є кроком формування локальних пріоритетів на основі матриць попарних порівнянь, які відображають відносний вплив множини елементів наступного рівня на елемент попереднього рівня. Змістовно цьому відповідає знаходження бажаності, сили впливу, цінності чи ймовірності для кожного окремого об’єкта –нащадка відносно безпосереднього об’єкта предка.

Локальні пріоритети отримуються шляхом обчислення множини головних власних векторів для кожної з обернено симетричних матриць ієрархії та нормалізації результату.

Обчислення головного власного вектора х=(х1,х2,....хn) позитивної квадратної матриці А=(аij) реалізується на підставі визначення рівності Ах=λmaxX, де λmax – максимальне власне значення матриці А.

Існує простіший спосіб наближеного обчислення пріоритетів шляхом обчислення середнього геометричного рядків матриці парних порівнянь А з наступною нормалізацією всіх складових отриманого вектора за формулою:

Після отримання значень власного вектора вони використовуються для подальших обчислень.

Оцінювання послідовності тверджень експерта

У процесі формування матриці попарних порівнянь на матрицю накладається обмеження оберненої симетричності, тобто за умовою aij=1/aij, що сприяє поліпшенню однорідності та послідовності тверджень експерта, тобто в числових твердженнях, якщо один елемент в m разів переважає інший, то останній в 1/m разів переважає перший (або в m разів гірший).

У практичних задачах кількісна й транзитивна (порядкова) однорідність (узгодженість) порушується, оскільки експерт оцінює переваги шляхом попарних порівнянь. Чим більші порушення, тим меншою мірою ми можемо довіряти результатам опитування експерта, і це свідчитиме про суперечливість тверджень експерта або ж про некомпетентність в даній предметній області.

Для оцінки однорідності тверджень експерта доцільно використати відхилення величини максимального власного значення λmax від порядку матриці n.

Отримана в результаті опитування експерта матриця буде неузгодженою, тобто відображати певну непослідовність тверджень експерта, яка в реальних умовах наявна завжди. Корисним результатом для оцінювання неузгодженості є індекс узгодженості, який дає інформацію про ступінь порушення числової та транзитивної – порядкової узгодженості. Якщо відхилення від узгодженості перевищують межі, то доцільно їх перевірити в матриці.

Індекс узгодженості розраховуємо за формулою:

звідси

Обчислений індекс Iu порівнюємо зі значенням, яке отримується за умови випадкового вибору значень шкали зі збереженням умови обернено симетричності випадкової матриці.

Середні значення для випадкових матриць різного розміру:

Розмір матриці	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12
Випадкова узгодженість	0	0	0,58	0,9	1,12	1,24	1,32	1,49	1,51	1,48

Відношення узгодженості є часткою від ділення індексу узгодженості на відповідне значення випадкової узгодженості:

Якщо отримане значення є меншим, ніж 10%, то рівень узгодженості може вважатися задовільним. У деяких випадках можна обмежитися 20%.

Основним завданням МАІ є розрахунок глобальних пріоритетів альтернатив, тобто пріоритетів альтернатив відносно всієї ієрархії. Вихідними даними при цьому є результати опитування експертів у вигляді матриць попарних порівнянь при всіх вузлах ієрархії за винятком рівня листя – альтернатив.

Ієрархічний синтез використовується для зважування власних векторів матриць парних порівнянь альтернатив вагами критеріїв (елементів), що наявні в ієрархії, а також для обчислення загальних пріоритетів альтернатив.

Оцінювання однорідності ієрархії

Після розв’язання задачі ієрархічного синтезу оцінюється однорідність ієрархії загалом за допомогою підсумовування показників однорідності всіх рівнів, приведених шляхом „зважування” до першого ієрархічного рівня, де знаходиться коренева вершина. Число кроків алгоритму по обчисленню однорідності визначається конкретною ієрархією. Визначення відношення однорідності для всієї ієрархії здійснюється за формулою:

При практичній реалізації методу МАІ слід мати на увазі, що для обгрунтованих числових порівнянь оптимальною кількістю є 7+ - 2 елементи.