5.3.4. Модифіковані методи голосування

Правило Копленда. Порівняємо кандидата а з будь-яким іншим х. Добавимо до його балів + 1, якщо для більшості аfх; -1, якщо для більшості хfа; 0 - при рівності голосів. Підсумовуючи загальну кількість бaлів по "х, х¹а, отримаємо оцінку Копленда. Переможець повинен мати найвищу оцінку.

Правило Сімпсона. Позначимо як N(a,x) кількість виборців, для яких а х. Оцінкою Сімпсона для а називається тіп N( а, х) .

х, ха

Переможцем буде той, хто має найбільшу оцінку Сімпсона.

Незважаючи на недоліки правил голосування, заснованими за Кондорсе, вони широко відомі як основа демократичних виборів. Якщо не існує переможця за Кондорсе, правила Копленда й Сімпсона частково вирішують цю проблему. На практиці це буває досить трудомістко, тому використовуються інші більш прості правила.

Правило відносної більшості з вибуванням. У першому раунді кожен виборець подає один голос за одного кандидата. Якщо кандидат набирає строгу більшість голосів, то він обирається. У протилежному разі в другому турі проводиться голосування за правилом більшості з двома кандидатами, які отримали більшість голосів у першому турі.

Правило голосування з послідовним вuключенням. Спочатку за правилом більшості виключаються кандидат а чи b; потім за правилом більшості проводиться порівняння переможця і кандидата с тощо. У разі рівності гoлociв програє той кандидат, що набрав менше голосів (таким чином, у США голосують за поправки до законів). Це прaвило не є нейтральним, тому що порядок виключення кандидатів впливає на наслідок голосування. Також може порушуватися оптимальність наслідку голосування за Парето.

Правuло голосування з паралельним виключенням. Спочатку за правилом більшості порівнюються пари кандидатів а з b і с з d . Переможці зустрічаються у фіналі, де порівнюються за правилом більшості. У разі рівності вибирають кандидата, прізвище якого перше за алфавітом. Це правило також не є нейтральним, але вибирає оптимальний за Парето наслідок голосування, коли в бінарних порівняннях немає рівноцінностей.

5.3.5. Аксіоми Ерроу

Наведені вище приклади описують декілька різних систем голосування. Можливі й інші системи. В якості прикладів можна вказати на систему багатотурового вибору з викреслюванням кандидатів, що набрали найменше число голосів, систему викреслювання небажаних кандидатів (approval votіng) тощо.

Систематичне дослідження всіх можливих систем голосування провів у 1951р. Кеннет Ерроу зі Стенфордського університету. Він порушив питання в найбільш загальному вигляді: чи можна створити таку систему голосування, щоб вона була одночасно раціональною (без протиріч), демократичної (одна людина - один голос) і вирішальною (дозволяла здійснити вибір). Замість спроб винаходу такої системи Ерроу запропонував набір вимог - аксіом, яким ця система повинна задовольняти. Ці аксіоми були інтуїтивно зрозумілі, прийнятні з точки зору здорового глузду й допускали математичне вираження у вигляді певних умов. На основі цих аксіом Ерроу спробував у загальному вигляді довести існування системи голосування, що задовольняє одночасно трьом перерахованим вище принципам: раціональна, демократична й вирішальна.

1.Перша аксіома Ерроу вимагає, щоб система голосування була досить загальною для того, щоб враховувати всі можливі розподіли голосів виборців. Інтуїтивно ця вимога цілком очевидна. Заздалегідь не можна передбачити розподіл голосів. Абсолютно необхідно, щоб система діяла при будь-якому розподілі голосів виборців. Ця аксіома одержала назву аксіоми універсальності.

2. Ще більш очевидної з точки зору здорового глузду є друга аксіома Ерроу: аксіома одноголосності. Відповідно до неї, необхідно, щоб колективний вибір повторював у точності одностайну думку всіх голосуючих. Якщо, наприклад, кожний з голосуючих вважає, що кандидат А краще кандидата В, то й система голосування повинна приводити до цього результату.

3.Третя аксіома Эрроу одержала назву незалежності від незв'язаних альтернатив. Нехай виборець вважає, що з пари кандидатів А і В кращим є А. Ця перевага не повинна залежати від ставлення виборця до інших кандидатів. Третя аксіома досить приваблива, але не настільки очевидна з погляду щоденного людського поводження. Проте сама можливість пред'явлення вимоги незалежності до системи голосування в якості обов'язкового не викликає сумніву.

4.Четверта аксіома Ерроу називається аксіомою повноти: система голосування повинна порівняти будь-яку пару кандидатів, визначивши, хто з них краще. При цьому мається можливість оголосити двох кандидатів рівнопривабливими. Вимога повноти не здається занадто строгою для системи голосування.

5. П'ята аксіома Ерроу є вже знайомою умовою транзитивності: якщо відповідно до думки виборців, кандидат В не краще кандидата А ( гірше або еквівалентний), кандидат С не краще кандидата В, то кандидат С не краще кандидата А. Вважається, що система голосування, що не допускає порушення транзитивності, поводиться раціонально.

Визначивши п'ять аксіом - бажаних властивостей системи голосування, Ерроу довів (парадокс Ерроу), що системи, які задовольняють цим аксіомам, мають неприпустимий з погляду демократичних свобод недолік: кожна з них є правилом диктатора - особистості, що нав'язує всім іншим виборцям свої переваги.

Результати, виявлені Ерроу, одержали широку популярність. Вони розвіяли надії багатьох економістів, соціологів, математиків знайти досконалу систему голосування. Вимога виключення диктатора приводить до неможливості створення системи голосування, що задовольняє всім аксіомам Ерроу. Тому результат Ерроу називають "теоремою неможливості ". Більш 70 років математики й економісти роблять спроби змінити вимоги Ерроу, "пом'якшити" аксіоми, щоб уникнути такого неприємного для демократичної системи голосування висновку.

Дуже цікаву зміну першої аксіоми запропонував Д. Блейк. Якщо кожен виборець упорядковує кандидатів у відповідності зі своєю політичною позицією, висновку Ерроу можна уникнути. На практиці це означає, що кожен виборець повинен упорядкувати кандидатів відповідно до їхніх політичних поглядів. Якщо він прихильник ринку й монетаризму й вважає, що А краще В, В краще С, то це означає, що А ближче всіх до його позиції, а С - найдальше.

Однак на практиці при оцінці кандидата виборці найчастіше керуються багатьма критеріями. Далеко не всі виборці розуміють свою політичну позицію. Результати голосувань, що базуються на емоціях, широко відомі.

Іншою цікавою зміною аксіом Ерроу є правило консенсусу, сформульоване А.Сеном. Він запропонував змінити аксіому транзитивності, зберігши правило транзитивності тільки для випадку строгої переваги між кандидатами. Відповідно до правила А. Сена, якщо хоча б один виборець по-іншому порівнює кандидатів А и В, ніж всі інші, то система голосування вважає кандидатів еквівалентними. Ясно, що таке правило призводить до колективної байдужності.

Отже, серйозність результатів К.Ерроу безумовна. Не можна відмовитися від вимоги раціональності: система голосування не повинна приводити до нетранзитивності. Не можна не вимагати, щоб система голосування була вирішальною: колективна байдужність, невміння зробити вибір є шляхом у безвихідь. Не можна відмовитися від вимоги демократичності виборів: людство заплатило (і продовжує платити) високу ціну за право кожної людини виражати свою думку. Крім того, демократичність у рішенні соціальних проблем особливо важлива в наш час, коли меншість має масу можливостей захищати свою позицію перед більшістю.

З погляду реального життя важливо знати, наскільки часто порушуються всі ці три умови одночасно. Дослідження французьких учених показали, що при моделюванні всіх можливих розподілів голосів виборців і збереженні умов демократичної й вирішальної системи голосування раціональність порушується приблизно в 6-9% випадків. Примиритися з цими фактами допоможуть відомі слова У. Черчілля про те, що демократія є поганою формою правління, але людство поки не придумало нічого кращого.