4.1.3. Множина Еджворта-Парето

Введемо наступне визначення. Назвемо альтернативу А домінуючою відносно альтернативи В, якщо за всіма критеріями оцінки альтернатива А не гірша, ніж альтернатива В, а хоча б за одним критерієм оцінки альтернатива А є кращою. При цьому альтернатива В називається домінованою.

Припустимо, що необхідно вибрати один з варіантів участі в міжнародному проекті (альтернативи) за критеріями вартості й рівню привабливості.

Оцінки альтернативних варіантів

Альтернатива	Критерій
	Вартість	Привабливість
1.	Невелика	Незначна
2.	Висока	Велика
3.	Невелика	Велика

Введемо наступне визначення: альтернативи відносяться до множини Еджворта-Парето (Е-П), якщо кожна з них перевершує будь-яку іншу за якимось із критеріїв. Множина Еджворта-Парето названа так за іменами вчених, які вперше звернули увагу на альтернативи, що не поступаються одна одній за критеріальними оцінками, тобто на альтернативи, що не перебувають у відношенні домінування.

Альтернативи, що належать множини Е-П, прийнято називати непорівнянними. Їх дійсно неможливо порівняти безпосередньо на основі критеріальних оцінок. Але якщо рішення має бути прийняте, то порівняння альтернатив, що належать множині Е-П, можливо на основі додаткової інформації.

Якщо використання принципу Парето не дає єдиного рішення при виборі того чи іншого варіанта, необхідно знайти способи звуження можливого вибору з множини ефективних варіантів. Дотепер припускалося, що всі критерії однакові за важливістю й однаково впливають на перевагу векторного критерію. Насправді ж часто перевага за окремими найважливішими критеріями призводить до переваги векторної оцінки в цілому. Поняття відносної важливості окремих критеріїв можливо буде визначити тільки тоді, коли їх можна буде порівнювати, тобто вони будуть порівнянні. Щоб розв'язати цю проблему використовують процедуру нормалізації.

Нормалізацію проводять різними способами - від застосування більш грубих шкал при вимірюванні оцінок, до обчислення різного роду статистик. Найбільше поширення одержала статистика виду:

k_{i норм} (v) = [k _i(v) - min k _i (v)]/[max _i k (v) - min _i k (v)]

Вона зручна тим, що всі k _{i норм} (v) [0;1], причому min k_{i норм}(v) = 0, max k_{i норм} (v) = 1. Таким чином, нормалізований окремий критерій показує, на яку частину всього діапазону змін [0;1] даний окремий критерій перевищує мінімальне значення.

	Вихідні значення			Нормовані значення
	K1	k2	k3	k1норм	k2норм	k3норм
K(u)	80	0,12	0,0030	0,10	0,60	0,77
K(v)	70	0,06	0,0107	0	0	1
K(w)	170	0,16	0,0007	1	1	0

Після нормалізації окремих критеріїв векторні критерії набувають деяких корисних властивостей. Головна з них полягає в тому, що будь-яка перестановка окремих критеріїв приводить до векторної оцінки, що входить у множину значень вихідної векторної оцінки.

Серед евристичних однокрокових методів найбільш наочним є метод головного критерію. Сутність цього методу полягає в тому, що серед окремих критеріїв обирається один, який призначається головним. На інші окремі критерії накладаються обмеження за допомогою порогів припустимих значень. Після цього задача зводиться до задачі лінійного програмування на знаходження умовного екстремуму. При цьому нормалізація вихідних даних необов'язкова.