28Ортогонал процесі

ɑ₁ ,ɑ_2,... ,ɑ_n Евклид не Унитар Х кеңістігінің кез келген векторлар жүйесі болсын. Осы жүйе бойынша b₁ ,b_2,... ,b_n € Х векторларының ортогональ жүйесін келесі түрде құрайық.

b₁=ɑ₁

b₂=ɑ₂-α₂₁b₂

...

b_і= ɑ_і-α_і,1b₁- α_і,2b₂-...- α_і,і-1b_і-1, (1)

...

b_n= ɑ_n-α_n,1b₁- α_n,2b₂-...- α_n,n-1b_n-1,

деп алайық.α₂₁, α₃₁, α₃₂,..., α_n,1, α_n,2,..., α_n,n-1 коэффициенттерін

(b₂,b₁)=0, (b₃,b₁)=0,... (b_n,b₁)= 0,(b_n,b₂)=0,... (b_n,b_n-1)=0

Ортогональдік шарттарын тауып аламыз.Сонда α_ij коэфициенттері

(2)

Формуласы бойынша есептеледі. Кейбір j үшін b _j=θ болып калуы мүмкін.Бұл жағдайда (1)-ші формуладағы бөлшектің де, алымы да нөлге тең. Егер солай болса, онда ɑ_ij=0 деп ұйғарамыз.

Осылай құрудан b₁, b₂, ...,b_n, векторлар жүйесінің ортогональ болатыны айқын. Айтылған ортогональдау процесінің қасиеттерін келесі теорема береді.

Теорема. Евклид не унитар кеңістікке b₁, b₂, ...,b_n, векторлар жүйесі ɑ₁, ɑ₂,..., ɑ_n жүйесінен ортогональдау процесінің нәтижесінде алынсы. Сонда кез келген 1≤i≤n үшін

(ɑ) L(ɑ₁, ɑ₂,..., ɑ_i)=L(b₁, b₂, ...,b_i),

(b) b₁, b₂, ...,b_i векторларының арасында ең болмағанда бірі нөлдік вектор болған жағдайда және тек сол жағдайда ғана (ɑ₁, ɑ₂,..., ɑ_i) векторлар жүйесі сызықтық тәуелді болады.

Дәлелдеу. і бойынша индукция жүргізейк.і=1болған жағдайда (ɑ), (b) тұжырымдарының орындалуы айқын.

(ɑ), (b) тұжырымдары і<s жағдайында орындалсын деп ұйғарып,оларды і=s жағдайы үшін дәлелдейік.L(ɑ₁, ɑ₂,..., ɑ_s-1)=L(b₁, b₂, ...,b_s-1), болғандықтан ,

ɑ₁, ɑ₂,..., ɑ_s-1~ b₁, b₂, ...,b_s-1.(1) –ші формуладан b_s= ɑ_s-α_s,1 b₁-α_s,2 b₂-…-α_s,s-1b_s-1.Одан ɑ₁, ɑ₂,..., ɑ_s-1,ɑ_s~ b₁, b₂, ...,b_s-1b_s.

L(ɑ₁, ɑ₂,..., ɑ_s-1,ɑ_s)=L(b₁, b₂, ...,b_s-1,b_s). (3)

Енді (b) тұжырымын дәлелдейік. Егер b₁, b₂, ...,b_s-1, векторларының арасында гөлдік вектор болса, онда индукциялық ұйғарым бойынша ɑ₁, ɑ₂,..., ɑ_s-1 сызықтық тәуелді. Ендеше ɑ₁, ɑ₂,..., ɑ_s-1,ɑ_s жүйесі де сызықты тәуелді.Енді b_s=θ болсын делік. Онда (3) формуладан ɑ_s=ɑ_s,1b_s+ ɑ_s,2b₂+…+ ɑ_s,s-1b_s-1 теңдігі шығады .Демек ɑ_s€ L(b₁, b₂, ...,b_s-1,). L(ɑ₁, ɑ₂,..., ɑ_s-1,)= L(b₁, b₂, ...,b_s-1,) болғандықтан, ɑ_s€ L(ɑ₁, ɑ₂,..., ɑ_s-1,). Ендеше ɑ₁, ɑ₂,..., ɑ_s-1,ɑ_s жүйесі сызыұты тәуелді . Бұл (b) тұжырымының қажетті шарты.

(b) тұжырымының жеткіліктілігі. ɑ₁, ɑ₂,..., ɑ_s-1,ɑ_s вектор жүйесі сызыұтыұ тәуелдә болсын. Егер ɑ₁, ɑ₂,..., ɑ_s-1 ішкі жүйесі сызықтық тәуелді болса, онда индукциялық ұйғарым бойынша b₁, b₂, ...,b_s-1 векторларының арасында нөлдік вектор бар \. Енді . ɑ₁, ɑ₂,..., ɑ_s-1 ішкі жүйесі сызыұты тәуелсіз болатын жағдайд өарастырайық.Сонда

L(ɑ₁, ɑ₂,..., ɑ_s-1,)= L (ɑ₁, ɑ₂,...,ɑ_s ) = L(b₁, b₂, ...,b_s)

Бұдан dimL(b₁, b₂, ...,b_s)=dim L(ɑ₁, ɑ₂,..., ɑ_s-1,)=s-1 болатыны аламыз. Индукциялық ұйғарым бойынша , b₁, b₂, ...,b_s-1 векторларының арасында нөлдік вектор жоқ, ал бұл жүйе сызықты тәулсіз болады. Осыдан b_s=θ болатынын аламыз. Теорема дәлеледенді.