14.Ішкі кеңістіктердің қосыедысы мен қиылысуының базисі мен өлшемін анықтау.

Анықтама1:<X,P> сызықтық кеңістіктігінің L₁,L₂,...,L_k ішкі кеңістіктерінің қиылысуы деп L₁,L₂,...,L_k жиындарының қиылысуын атайды. L₁,L₂,...,L_k ішкі кеңістіктерінің қосындысы деп a= a₁+a₂+...+a_k, a_i€L_i, i=1,k түрінде жіктелетін барлық a€X векторларының жиынын атайды.

Ішкі кеңістіктердің қиылысуы мен қосындысы үшін сәйкес келесі белгілеулер қабылданған: .

_және жиындары бос емес,өйткені θ нөлдік векторы кез келген ішкі кеңістікке тиісті болады және θ=θ+θ+...+θ. Бұл екі жиынының сызықтық өрнектерге қатысты тұйықтығын көрсету қиын емес,демек олардың өздері<X,P> сызықтық кеңістігінің ішкі кеңістіктері болады.

Егер берілген ішкі кеңістіктердің сипаттаулары белгілі болса,онда олардың қиылысуы мен қосындысының сипаттауларын қалай табуға болады?Бұл сауалға қайтаратын жауабымыз: қосу амалына ішкі кеңістіктердің сипаттауларының бірңншісі,ал қиылысу амалына-екіншісі ыңғайлы болады.

Дәлірек,егер L₁=L(a₁,a₂,...,a_k),ал L₂=L(b₁,b₂,...,b_m) болса,онда L₁+L₂=L(a₁,a₂,...,a_k, b₁,b₂,...,b_m) яғни сызықтық қабықшалары қосқанда олардың жасаушылары біріктіріледі.

A*x=θ және В*x=θ біртекті сызықтық теңдеуледің жүйелері L₁ және L₂ ішкі кеңістіктерінің сипаттаулары болсын.А мен В матрицаларынан

блок матрицасын құрайық.Онда ,яғни біріктірілген сызықтық теңдеулер жүйесі ішкі кеңістіктердің қиылысуын сипаттайды.

Егер L₁,L₂,...,L_k ішкі кеңістіктерінің өлшемділіктері белгілі болса, онда және ішкі кеңістіктерінің өлшемділіктерін есептеу тәсілі табиғи түрде ойға келеді.

Теорема1: <X,P>-кез келген сызықтық кеңістік,ал L₁,L₂ оның кез келген ақырлы өлшемді ішкі кеңістіктері болсын.Онда ₍₁₎

Дәлелдеу. L₁ мен L₂-нің ақырлы өлшемділігінен ішкі кеңістіктерінің ақырлы өлшемділігі оңай шығады. a₁,a₂,...,a_k векторлар жүйесі ішкі кеңістігінің қандай да бір базисі болсын.Оны L₁ мен L₂ ішкі кеңістіктерінің базистеріне дейін толықтырайық. a₁,a₂,...,a_k , b₁,b₂,...,b_p векторлар жүйесі L₁-дің,ал a₁,a₂,...,a_k, c₁,c₂,...,c_q- L₂ -нің базисі болсын.Сонда L₁+L₂=L(a₁,a₂,...,a_k, b₁,b₂,...,b_p, c₁,c₂,...,c_q).dim(L₁+L₂)=k+p+q теңдігін дәлелдейік.Ол үшін a₁,a₂,...,a_k, b₁,b₂,...,b_p, c₁,c₂,...,c_q векторлар жүйесінің сызықтық тәуелсіздігін көсету жеткілікті.Айталық, осы жүйенің бір сызықтық өрнегі нөлге айналсын:α₁a₁+...+α_ka_k+β₁b₁+...+β_pb_p+γ₁c₁+...+γ_qc_q=θ (2).Бұл теңдікті былай түрлендірейік:

α₁a₁+...+α_ka_k+β₁b₁+...+β_pb_p=-(γ₁c₁+...+γ_qc_q).Осы теңдіктің сол жағындағы вектор L₁-ге, ал оң жағындағы вектор L₂-ге тиісті. Ендеше,γ₁c₁+...+γ_qc_q€ L₁∩ L₂демек,бір δ₁,δ₂,...,δ_k€P үшін γ₁c₁+...+γ_qc_q= δ₁a₁+...+ δ_ka_k.

Осыдан L₂-дегі базистік векторлардың сызықтық тәуелсіздігі бойынша, γ₁=γ₂=...=γ_q=0 теңдіктерін аламыз. Олай болса α₁a₁+...+α_ka_k+β₁b₁+...+β_pb_p= θ L₁-дегі базистік векторлардың сызықтық тәуелсіздігінен α₁=...=α_k=β₁=...β_p=0 шығады. Сонымен (2)-ші теңдігінде барлық коэффициенттер нөлге тең болуы міндетті болып шықты.Демек, (2)-ші теңдігінде векторлар жүйесі сызықтық тәуелсіз болады.

Енді dim(L₁+L₂)=k+p+q теңдігін түрлендіріп,dim(L₁+L₂)=k+p+q=(k+p)+(k+q)-k=dimL₁+ dimL₂-dim(L₁∩L₂) теңдіктерін аламыз.

dim(L₁+L₂)≤ dimL₁+dimL₂.

15) Ішкі кеңістіктердің қосындысы мен қиылысуының базисі мен өлшемдері туралы теорема.

Анықтама. сызықтық кеңістік , ал L жиыны Х жиынының қандай да бір бос емес ішкі жиыны болсын. Егер кеңістіктің амалдары бойынша жұбы сызықтық кеңістік құрайтын болса, онда L жиыны Х-тің ішкі сызықтық кеңістігі деп аталады.

Егер сызықтық кеңістігіндегі векторларының саны мейілінше үлкне сызықтық тәуелсіз жүйелер табылатын болса, онда бұл сызықтық тәуелсіз жүйелер табылатын болса, онда бұл сызықтық кеңістік ақырсыз өлшемді деп аталады. Ал кері жағдайда, яғни сызықтық тәуелсіз жүйелердің векторларының саны шектелген болса, онда сызықтық кеңістігі ақырлы өлшемді деп аталады.

Теорема. Ақырлы өлшемді сызықтық кеңістіктің ішкі кеңістіктерінің L=L1+L2+...+Lk қосындысы тура қосынды болу үшін L ішкі кеңістігінің базисі L=L1+L2+...+Lk ішкі кеңістіктер базистерінің бірігуі болуы қажетті және жеткілікті.

Дәлелдеу. Қажеттілік a=а1,а2,...,аk векторлар жүйесі L1 ішкі кеңістігінің базисі, b_1,b₂,…,b_p-L₂- ның базисі,...,с₁,с₂,...,сq векторлар жүйесінің сызықтық тәуелсіздігін көрсетейік. Егер өрістің бір коэффициенттері үшін +…+ c_q= теңдігі орындалса, онда +…+ c_q сызықтық өрнекткерін a,b,…,c арқылы белгілеп, L₁, b L₂, …, c L_k, жіктеуін аламыз. Шарт бойынша, L=L1+L2+...+Lk. Ендеше, a=b=…=c= теңдіктерін аламыз. Базистердің сызықтық тәуелсіздігінен +…+ c_q= теңдігінде барлық коэффициенттері нөлге тең болатндығы шығады. Демек а1,а2,...,аk, b_1,b₂,…,b_p,…, с₁,с₂,...,с_q векторлар жүйесі сызықтық тәуелсіз. Сызықтық қабықшалары қосқанда, олардың жасаушы векторлары бірігеді, ендеше L=L(а1,а2,...,аk, b_1,b₂,…,b_p,…, с₁,с₂,...,с_q). Сонымен а1,а2,...,аk, b_1,b₂,…,b_p,…, с₁,с₂,...,с_q векторлар жүйесі L ішкі кеңістігінің базисін құрайды.

17) Вектордың берілген базистегі координатасы және оны бірегейлігі.

х= формуласы х векторының P коэффиценттері х векторының базисіндегі координаталары деп аталады.

Салдар. Ақырлы өлшемді сызықтық кеңістіктегі екі вектор тең болуы үшін олардың кез келген базистегі сәйкес координаталары тең болуы қажетті және жеткілікті.

Теорема. Векторларды қосқанда олардың сәйкес координаталары қосылады. Векторды өрістің элементіне көбейткенде вектордың барлық координаталары осы элементке көбейтіледі.

Дәлелдеу. ақырлы сызықтық кеңістігінің қандай да бір базисі берілсін. х, у Х кез келген векторлар , ал μ Р кез келген коэффицент болсын. Онда х= және у= теңдіктерін қоссақ, х+у= . Сонымен бірге, х+у= (х+у)_{( )}. Демек, х+у векторының базисі бойынша екі жіктеуіне келдік. Ендеше, (х+у)_e =х_e+y_e. Бұл теңдіктің сол жағындағы өрнегі х пен у-ті алдын ала қосып алып, қосындының координаталарын алу керек дейді, ал оң жағындағысы – алдымен осы екі вектордың координаталарын жекелеп тауып алып, одан кейін сол координаталарды қосу керек дейді.

18) Бір базистен екінші базиске көшу матрицасы. Әр түрлі базистегі вектордың координаталарының арасындағы байланыс.

Ан: Егер сызықтық кеңістігінің кез келген х векторы е₁,e₂,…,e_k сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесі арқылы сызықтық өрнектелетін болса, онда ол е₁,e₂,…,e_k векторлар жүйесі сызықтық кеңістігінің базисі деп аталады.

Анықтама: бағандары q векторларының е базисіндегі координаталары, яғни (q1)e,(q2)e,…,(qn)e бағандарына тең болатын матрицаны Peq символымен белгілеп, оны е базисінен q базисіне көшуматрицасы деп атаймыз.

Peq көшу матрицасын, матрицаларға қолданылатын амалдарды пайдаланып,қысқаша, мынадай теңдікпен анықтауға болады: q=e* Peq

q базисі бойынша x=q*xq жіктеу формуласы мен q=e* Peq формуланы пайдаланып, x=(e* Peq)* xq теңдігін аламыз. Матрицаларды көбейту амалы ассоциатив, ендеше, x=e*( Peq*xq). Сонымен қатар, е базисі бойынша жіктеу формуласы бойынша, x=e*xe. Онда вектордың координаталарын түрлендіру формуласы деп аталатын, теңдікке келеміз: xe= Peq*xq

19 САТЖ n белгісізі бар m сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі деп мына түрде берілген жүйені айтамыз:

(2)мұндағы - жүйенің коэффициенттері , ал - бос мүшелер, - белгісіздер.

7.a1 a2 an сандары (2) жүйесінің шешімдері деп аталады, егер бұл сандарды теңдеудегі сәйкес белгісіздердің орнына қойғанда, осы жүйедегі тепе-теңдіктер орындалса.

Кронекер-Капелли теоремасы. (2) жүйесі үйлесімді болуы үшін теңдігінің орындалуы қажетті және жеткілікті, мұндағы

- (2) жүйесінің кеңейтілген матрицасы деп аталады.

(2) теңдеулер жүйесінің әрбір теңдеуі осы теңдеудің коэффиценттерімен бірмәнді анықталатындықтан, A матрицасының жолдарын вектордың координаталары ретінде қарастыра отырып, r(A) - (2) жүйесінің сызықтық тәуелсіз теңдеулер санына тең болатындығына көз жеткіземіз .

Салдар 1. (2) жүйесі анықталған болады сонда және тек қана сонда ғана, егер мұндағы - n белгісіздер саны.

m=n және жағдайын қарастыралық. Онда салдар 1 бойынша (2) жүйесі анықталған және осы теңдеулер жүйесін шешу үшін келесі әдістерді қарастырамыз.

2.2.1 Крамер ережесі (2) жүйесінің шешімдері мынадай формула арқылы анықталады:

мұндағы - анықтауыштағы i-ші бағанды бос мүшелер бағанымен алмастырғаннан пайда болған анықтауыштар.

2.2.2 Матрицалық әдіс болғандықтан

2.2.3 Гаусс әдісі (белгісіздерді біртіндеп жою әдісі)

Элементар түрлендірулерді қолданып (2) жүйесін өзіне эквивалентті болатын диагоналдық жүйеге келтіреміз

(3)одан кейін ең соңғы теңдеуден бастап біртіндеп жоғарылай отырып белгісіздерді анықтаймыз.