13.Векторлық кеңістіктің базисі мен өлшемі.Теорема.

Теорема1:<X,P>сызықтық кеңістігі арқылы өлшемді болу үшін қандай да бір а₁а₂,...,а_k€X векторлар жүйесі табылып,X=L(а₁а₂,...,а_k) теңдігінің орындалуы қажетті және жеткілікті.

_{Дәлелдеу.Қажеттілік.<X,P>сызықтық кеңістігі арқылы өлшемді болсын.Сызықтық тәуелсіз жүйелердің арасында қуаты ең үлкен болатын қандай да бір a1,a2,...,ak векторлар жүйесін таңдап алайық.}

_{қатынасының орындалуы кез келген b€X векторының a1,a2,...,ak векторлар жүйесі арқылы сызықтық өрнектелуіне пара-пар.Таңдауымыз бойынша a1,a2,...,ak және a1,a2,...,ak ,b екі жүйесінің біріншісі сызықтық тәуелсіз,ал екіншісі сызықтық тәуелді.Ендеше сызықтық тәуелділіктің қасиеті бойнша,b векторы a1,a2,...,ak векторлары жүйесі арқылы сызықтық өрнектеледі.Осы және өзінен өзі анық}

_{қатынасы теңдігін береді.}

_{Жеткіліктілік. теңдігі қандай да бір a1,a2,...,ak векторлар жүйесі үшін орындалсын, L(a1,a2,...,ak )сызықтық кеңістігінде сызықтық тәуелсіз жүйелердің қуаты k-дан аспайды.Демек,<X,P>сызықтық кеңістігі арқылы өлшемді.}

_{Cалдар1.Кез келген сызықтық қабықша арқылы өлшемді сызықтық кеңістік құрайды.}

_{Дәлелдеу.<X,P> сызықтық кеңістігінде (Х ақырсыз өлшемді де болуы мүмкін)кез келген a1,a2,...,ak €Х векторлар жүйесін алайық.Тұжырым бойынша, <L(a1,a2,...,ak),P>сызықтық кеңістік болады.}

_{Анықтама1. <X,P> ақырлы өлшемді кеңістік болсын .dim X деп сызықтық тәуелсіз жүйелердің ең үлкен қуатын белгілеп,оны <X,P> сызықтық кеңістігінің өлшемділігі деп атаймыз.}

_{Нөлдік кеңістіктің өлшемділігі нөлге тең болатындығы анық,ал dimL=1, dim∏=2,dimS=3 болатындығы белгілі.Ақырсыз өлшемділікті ∞ символымен белгілейміз,мысалы dimP[X]=∞.}

_{Анықтама2.Егер <X,P> сызықтық кеңістігің кез келген х векторы е1,е2,...,еk сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесі арқылы сызықтық өрнектелетін болса,онда ол е1,е2,...,еk векторлар жүйесі <X,P> сызықтық кеңістігің базисі деп аталады.}

_{Бұл анықтамадағы "Х сызықтық кеңістігінің кез келген векторы е1,е2,...,еk векторлар жүйесі арқылы сызықтық өрнектеледі" деген шартын "L(е1,е2,...,еk)=X " эквивалент шартымен алмастыруға болады. Сонымен,базистің анықтамасын мынадай эквивалент түрінде де беруге болады:}

_{Анықтама3:Егер <X,P> сызықтық кеңістігінде}

_{1. е1,е2,...,еk векторлар жүйесі сызықтық тәуелсіз және}

_{2.L(е1,е2,...,еk)=X болса,онда е1,е2,...,еk векторлар жүйесі <X,P> сызықтық кеңістігінің базисі деп аталады.}

_{Мысал1:L түзу бойында кез келген a≠θ векторы,П жазықтығында коллинеар емес a,b векторларының кез келген жұбы,сондай-ақ S сызықтық кеңістігінде компланар емес a,b,c векторларының кез келген үштігі базис құрайды.}

_{Мысал2:Eij матрицалар жүйесі Mmxn(P) сызықтық кеңістігіне базис құрайды.}

_{Мысал3:P}ⁿ _{сызықтық кеңістігінде e1=(1,0,0,...,0,0),e2=(0,1,0,...,0,0),...,en=(0,0,0,...,0,1) векторлар жүйесі базис болады.Бұл базисті P}ⁿ _{сызықтық кеңістігінің стандарт базисі деп алаймыз.}

Теорема2: <X,P> сызықтық кеңістіктің өлшемділігі n-ге тең,яғни dimX=n болсын.Сонда X кеңістігінің кез келген n элементті сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесі базис болады.

Дәлелдеу.е₁,е₂,...,е_n векторлар жүйесі X сызықтық кеңістігінің сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесі болсын.Анықтама бойынша, кез келген x€X векторын е₁,е₂,...,е_n векторлар арқылы сызықтық өрнектеуіміз керек.е₁,е₂,...,е_n векторлар жүйесі сызықтық тәуелсіз бола алмайды,dimX>n әтпесе болар еді.Сонымен,е₁,е₂,...,е_n сызықтық тәуелсіз,ал е₁,е₂,...,е_n,х сызықтық тәуелді жүйелер.Ендеше,сызықтық тәуелділіктің қасиеті бойынша,х векторы е₁,е₂,...,е_n векторлар арқылы сызықтық өректеледі.

Салдар2:Ақырлы өлшемді <X,P> сызықтық кеңістігінің кез келген Ү ішкі кеңістігі үшін dimY≤dimX.Егер dimY≤dimX болса,онда Y=X.

Дәлелдеу. dimY≤dimX теңсіздігі анық,себебі Y-тегі сызықтық тәуелсіз жүйе X-та да сызықтық тәуелсіз болады.Енді dimY=dimX=n болсын деп,Y-тың қандай да бір е₁,е₂,...,е_n базисін алайық.Онда Y=L(е₁,е₂,...,е_n),ал 2-ші теорема бойынша,е₁,е₂,...,е_n векторлар жүйесі X-тың да базисі болады.Ендеше L(е₁,е₂,...,е_n)=X. Осыдан Y=X.