7.1 Арифметикалық n өлшемді кеңістік

Реттелген нақты сандардан құралған жүйесі өлшемді «нүкте», ал сандары осы нүктенің координаттары деп аталады. Егер болса, демек жүйесі реттелген екі сандары арқылы берілсе, онда бұл жүйе жазықтықтағы нүктені (1-сурет), ал болса, онда жүйесі кеңістіктегі нүктені (2-сурет) анықтайды және, керісінше жазықтықтағы нүкте реттелген сандарын, ал кеңістіктегі нүкте реттелген сандарын анықтайды. Бұл жағдайда нүктенің бірінші координаты абсцисса, екінші координаты ордината, үшінші координаты z апликат деп аталады. болған жағдайда жүйесінің геометриялық бейнесін кескіндеу мүмкін емес.

у z

z M_xy

y M(x,y)

1 M_xz M(x,y,z)

0 1 x x y y

x M_xy

x

1-сурет 2-сурет

өлшемді және нүктелері арасындағы қашықтық

(7.1)

формуласы арқылы анықталады. Жазықтықпен кеңістікте бұл формула арқылы және нүктелерін жалғастыратын кесіндінің ұзындығы анықталады. Демек, жазықтықта және нүктелері берілсе, онда осы нүктелер арасындағы қашықтық , (7.2)

ал кеңістікте және нүктелері арасындағы қашықтық

(7.3)

формулалары арқылы анықталады. Нүктелері арасындағы қашықтық (3.1) формуласы арқылы анықталатын өлшемді нүктелер жиыны арифметикалық өлшемді кеңістік деп аталады да, белгіленеді.

8.Ішкі кеңістік.Ішкі кеңістік болу белгісі.Мысалдар.

1.Кез келген а₁а₂,...,а_k€X векторлар жүйесі үшін L(а₁а₂,...,а_k) сызықтық қабықшасы Х сызықтық кеңістігінің ішкі кеңістігі болады;

2.Х кеңістігінің кез келген L ішкі кеңістігі үшін L(а₁а₂,...,а_k) сызықтық қабықшасына тең болатындай а₁а₂,...,а_k€X векторлар жүйесі табылады;

3. L(а₁а₂,...,а_k) сызықтық қабықшасының базисі ретінде а₁а₂,...,а_k жасаушылар жүйесінің кез келген базасын алуға болады;

4.dim L(а₁а₂,...,а_k)=r(а₁а₂,...,а_k);

5.‹X,P›сызықтық кеңістігінің _{болатын кез келген L1,L2 ішкі кеңістіктері үшін dimL1≤dimL2.Ал және dimL1=dimL2 болса,онда L1=L2.}

_{Теорема1. А*х=Ө-ші алгебралық біртекті сызықтық теңдеулер жүйесінің LА шешімдер жиыны P}ⁿ _{сызықтық кеңістігінің ішкі кеңістігі болады.}

_{А*х=Ө-ші теңдеулер жүйесінің фундаменталь шешімдер жүйесі LА ішкі кеңістігінің базисі болады, ал dimLA=n-r(A).}

_{Дәлелдеу.Әлбетте,А*х=Ө теңдеулер жүйесінің х=(0,0,...,0)' нөлдік шешімі бар.Демек LА≠θ. Кез келген a,b€ LА шешімдерін және кез келген α,β€P коэффициенттерін алып, αa+βb векторының А*х=Ө теңдеулер жүйесінің шешімі болатынын көрсетейік.}

_{A*(αa+βb)= α(A)a+β(A*b)= α*Ө+β*Ө=Ө,ендеше αa+βb€ LА. LА жиыны P}ⁿ _{сызықтық кеңістігінің ішкі кеңістігі болады.}

_{Теорема2. P}ⁿ _{сызықтық кеңістігінің кез келген L ішкі кеңістігі үшін L= LА болатындай А*х=Ө алгебралық біртекті сызықтық теңдеулер жүйесін табуға болады.}

_{Дәлелдеу.L жиыны P}ⁿ _{сызықтық кеңістігінің кез келген ішкі кеңістігі,ал m оның өлшемділігі болсын. P}ⁿ _{кеңістігінде e1, e2,..., en стандарт базисін,ал L ішкі кеңістігінде қандай да бір q1, q2,..., qm базисін белгілейік.L-дің базисін P}ⁿ _{сызықтық кеңістігінің бір}

_{q1, q2,..., qm,qm+1,...,qn базисіне дейін толықтыруға болады.}

_{Pqe=(αij)i,j=1,n матрицасы q базисінен e базисіне көшу матрицасы болсын.Кез келген x=(x1,x2,...,xn)€X векторының e базисіндегі координаталық бағаны xe=(x1,x2,...,xn)'=x' болады.x векторының q базисіндегі координаталық бағанын xq=(y1,y2,...,yn) арқылы белгілейік.Координаталарды түрлендіру xq= Pqe*x формула бойынша.Демек әрбір yi координатасы yi=αi1x1+ αi2x2+...+ αnxn формуласы бойынша есептеледі.Кез келген x€X векторы үшін x€L↔ x€L(q1, q2,..., qm)↔ym+1=0& ym+2=0&...& yn=0.}

_{Демек,егер A=(αi1)i=m+1,j=1,n болса,онда А*х=Ө теңдеулер жүйесінің шешімдер жиыны болатын LА ішкі кеңістігі L жиынына тең болады.}

_{1-ші және 2-ші теоремалар ішкі кеңістіктерді толық сипаттайды.Кейде біз осы сипаттауды ішкі кеңістіктердің екінші сипаттауы деп айтамыз.Ал ішкі кеңістіктердің бірінші сипаттауы дегеніміз ,оларды сызықтық қабықша ретінде сипаттау болып табылады.}