33Сызықты оператордың матрицасы.
Теорема.Ақырлы өлшемді сызықты кеңістікті бейнелейтін сызықтық оператор базистік векторлардың бейнелерінһмен толық анықталады.
Дәлелдеу. Алдымен теорияның тұжырымын дәлігіек анықтайық,Р өрісі бойынша Х пен У кеңістіктерң берілсін.Осы екі сызықтық кеңістіктің біріншісі,яғни Х кеңістігі , арқылы өлшемді ал е1, е2,..., еn векторлар жүйесі оның базисі болсын.У кеңістігінде қандай да бір у1, у2, ...,уn векторлар жүйесін белгілейік. Онда Ае1= у1,А е2= у2,... Аеn= уn болатындай А:Х→У сызықтық операторы бірегей табылады.
А сызықтық операторының бар болуы. Кез келген векторын алып, оның е1, е2,..., еn базисі бойынша ɑ=α1е1+ α2е2+...+ αnеn жіктеуін тауып, Аɑ бейнесін Аɑ=α1y1+ α2y2+…+ αnyn теңдігімен анықтаймыз. А бейнелеуінің сызықтық оператор болатынын көрсетейік . b=β1е1+ β2е2+...+ βnеn векторы Х кеңістігінің кез келген векторы, ал γ,δ € Pкез келген коэфициенттер болсын. Онда γɑ+ δb=(γα1+δβ1)e1+(γα2+δβ2)e2+…+(γαn+δβn)en
Осыдан
Демек А бейнелеуі сызықтық оператор болады.
А операторының бірегейлігі. Ве1=у1,Ве2=у2,...,Веn=уnтеңдіктері орындалатын B:X→Уқандай да бір сызықтық оператор болсын. Онда кез келген ɑ€X үшін
Демек мен бейнелеулері тең. Теорема дәлелденді.
P өрісі бойынша Х және У арқылы өлшемді сызықтық кеңістіктерінің сәйкесінше е1, е2,..., еn және q1, q2,..., qk базистері берілсін, ал А:Х→У сызықтық оператор болсын.Бағандары е1, е2,..., еn базистік векторларының Ае1,Ае2,...,Аеn бейнелерінің q1, q2,..., qk базисіндегі координаталардан құралған Аqe матрицасының А операторының е1, е2,..., еn және q1, q2,..., qk базистер жұбындағы матрицасы деп атаймыз.
34. Әртүрлі базистегі сызықты оператордың матрицаларының арасындағы байланыс
Байланыс формуласы.
φ:L→L, dim L=n
e1,e 2,…,e n (e) q1,q 2,…,q n (q)
e → q T
( q1,q 2,…,q n )=( e1,e 2,…,e n )T
Q=AT Aeφ=T-1Ab φT
35Сызықты оператордың меншікті мәні мен меншікті векторлары.
‹Х,Р› сызықтық кеңістік,ал А€ L(X,X) қандай да бір сызықтық түрлендіру болсын.
1.ɑ≠θ
2.Аɑ=λɑ болатын λ€ Р табылады.
Шарттарын қанағаттандыратын ɑ λ Х векторы А операторының меншікті векторы деп, ал λ коэфициенттері ɑ меншікті векторына сәйкес келетін А операторының меншікті мәні деп аталады.
А түрлендіруінің λ меншікті мәніне сәйкес меншікті нөлдік вектормен толықтырылған жиынды Θλ(А) символымен белгілейік.Онда Θλ(А)={ɑ:Aɑ=λɑ} және Θλ(А) жиыны Х сызықтықт кеңістігі ішкі кеңістігін құрайды. Шынында, егер ɑ,b€ Θλ(А), ал α,β€Р болса,онда
А(αɑ+βb)= αАɑ+βАb= αλɑ+βλb=λ(αɑ+βb)
Демек, Θλ(А) жиыны сызықтық амалдары бойынша тұйық. Θλ(А) ішкікеңістігін А операторының λ меншікті мәніне сәйкес меншікті ішкі кеңістік деп атаймыз.
Егер λ=0 операторы үшін Θ0А=kerA.Бұдан А операторының нөлдік меншікті мәні бар болған жағдайда және тек сол жағдайда ғана ерекше оператор болатындығы шығады.
Теорема.Егер А€ L(X,X) операторының λ1, λ2,...,λк меншікті мәндері әртүрлі болса, онда оларға сәйкес ɑ1, ɑ2,..., ɑк меншікті векторлар сызықтық тәуелсіз.
Дәлелдеуі.к бойынша индукция арқылы жүргізіледі.к=1 жағдайда алдыңғы анықтымы бойынша меншікті вектор ɑ1≠θ.Демек ɑ1 жүйесі сызықтық тәуелсіз. Индукциялық қадам. Теорема тұжырымы к<s ақиқат болсын λs≠0деп есептеуге болады.
α1ɑ1+ α2ɑ2+...+ αsɑs (1)
Деп ұйғарайық. (1)-теңдіктің екі жағында да А операторын қолданайық та, алынған теңдіктен (1)-теңдікті λs коэфициентке көбейтіп алып тастайық.
α1Аɑ1+ α2Аɑ2+...+ αsАɑs -λs(α1ɑ1+ α2ɑ2+...+ αsɑs)= α1(λ1- λs)ɑ1+ α2(λ2- λs)ɑ2+...+ αs-1(λs-1- λs)ɑs-1=θ
λ1-λs≠0, λ2-λs≠0,..., λs-1- λs ≠0теңсіздіктерінен және индукциялық ұйғарымнан α1=α2=...= αs-1=0теңдіктерін аламыз.ал (1)-теңдік енді αsɑs=θ теңдігіне пара-пар.Ендеше ɑs=0.Демек ɑ1, ɑ2,..., ɑs жүйесі мызықты тәуелсіз..
36) Сызықты оператордың мінездемелік көпмүшелігі.
Х
және У қандай да бір Р өрісі бойынша екі
сызықтық кеңістік болсын. Егер кез
келген 
коэффициенттері мен кез келген а,b
үшін А(
)=
+
теңдігі орындалса, онда А:Х
У
бейнелеуі сызықтық оператор деп аталады.
Анықтама: А λ(Х,Х) сызықтық түрлендіруінің сипаттауыш көпмүшесі деп оның кез келген Ае матрицасының сипаттауыш көпмүшесі аталады.
Сызықты оператордың мінездемелік көпмүшелігі.
Анықтама:
А
Мn*n(P)
қандай да бір шаршы матрица болсын.
det(A-
λE)
анықтауышы А матрицасының сипаттауыш
көпмүшесі деп аталады да 
А(λ)
арқылы белгіленеді.
Егер
А=(
ij)
болса,
онда
Анықтауыштың негізгі қасиеттерінқолданып, А сипаттауыш көпмүшесі n дәрежелі коэффициенттері Р өрісіне тиісті көпмүше болатынын көрсету оңай.
37) Ұқсас матрицалар және олардың мінездемелік көпмүшеліктерінің бірдейлігі.
Р өрісі бойынша Х және У арқылы өлшемдері сызыөтық кеңістіктерінің сәйкесінше е1,e2,…,en және q1,q2,…,qk базистері берілсін, ал А:Х Усызықтық оператор болсын. Бағандары е1,e2,…,en базистік векторларының Aе1,Ae2,…,Aen бейнелерінің q1,q2,…,qk базисіндегі координаталардан құралған Аqe матрицасын А операторының е1,e2,…,en және q1,q2,…,qk базистер жұбындағы матрицасы деп атаймыз.
Шаршы
А,В
n(P)
матрицалары үшін ерекше емес С
n(P)
матрицасы табылып, 
теңдігі орындалатын болса, онда А мен
В ұқсас
матрицалар
деп аталады да А
В
деп белгіленеді.
Теорема. Ұқсас матрицалардың сипаттауыш көпмүшелері өзара тең болады.
Дәлелдеу:
А,В ұқсас
матрица болсын.
Онда В=
AP
болатындай
ерекше емес Р матрицасы табылады. Осыдан
В(λ)=det(B-λE)=det(
AP-λ
)=det(
)=det
det(A-
λE)detP=det(A-
λE)=
A(
).
38) Сызықты оператордың матрицасының диагональдық түрге келуінің қажетті және жеткілікті шарты.
Теорема.
A
L(X;X)
операторы қарапайым құрылысты болуы
үшін оның матрицасы диоганаль маирицаға
ұқсас болуы қажетті және жеткілікті.
Дәләлдеу. Қажеттілік. a1,a2,…,an векторлар жүйесі Х кеңістігінің А операторының өзіндік векторларынын тұратын базисі, λ1, λ2,..., λn сәйкес өзіндік мәндері болсын. Онда Аа1= λ1a1,Aa2= λ2a2,…,Aan= λnan , демек, Ae=diag{ λ1, λ2,..., λn }.
Жеткіліктік. А операторының a1,a2,…,an базисінде Ae матрицасы диагональ матрица болсын: Ae=diag{ λ1, λ2,..., λn }. Онда Аа1= λ1a1,Aa2= λ2a2,…,Aan= λnan . Ендеше, А қарапайым құрылысты оператор.