3.Сақина.Ішкі сақина.Сақинадағы керіленетін элементтер.Нөлдің бөлгіштері мен нильпотентті элементтер.

Анықтама.Егер + қосу және * көбейту бинарлық екі амалы бар алгебралық жүйесі үшін алгебралық жүйесі абель тобы,ал көбейту амалы ассоциатив және қосу арқылы дистрибутив,онда алгебралық жүйесі сақина деп аталады.

Егер бұл анықтаманы бұдан да толығырақ берсек,онда былай айтылады.Егер келесі аксиомалар:

R1 a,b,c

R2

R3

R4

R5

R6a

R6b

Орындалатын болса,онда алгебралық жүйесі сақина деп аталады.Алғшқы төрт аксиома –ның абель тобы болатындығын,R5аксиомасы көбейтудің ассоциатив, R6a мен R6b көбейтудің қосу арқылы дистрибутив (сол және оң жақты) болатындығын анықтайды.

Анықтама.Сақинаның өзі сақина болатын кез келген ішкі алгебралық жүйесі осы сақинаның ішкі сақинасы деп аталады.

Нөлдік сақина кез келген сақинаның ішкі сақинасы болуы айқын және кез келген сақина өзіне өзі сақина болатындығы да айқын.

Th.Бірлігі бар нөлдік емес сақинада 0

Дәлелдеу.K бірлігі бар нөлдік емес сақина болсын.Сонда K –да нөлдік элеменнтен ерекше а, яғни a элемент үшін a*0=0 және a*1=a .Ендеше 0

Анықтама.Егер бірлігі бар элемент К сақинасының а элементі үшін мына

a*b=b*a=1 теңдіктер орындалатындай элементі табылатын болса,онда а керіленетін элемент деп аталады. B Элементі a– ға кері элемент деп аталады да,a^-1 арқылы белгіленеді.

Анықтама.а-К сақинасының қандай да бір элементі болсын.Егер а*b=0 (немесе b*а=0) теңдігі орындалатындай нөлдік емес элементі бар болса,онда а нөлдің бөлгіші (сәйкес сол бөлгіші) деп аталады. Кез келген сақинада 0 нөлдік элементі нөлдің бөлгіші болады.Сондықтан нөлдің тек 0-ден ерекше бөлгіштерін ғана қарастырамыз.0-ден ерекше нөлдің бөлгіштерін нөлдің тривиал емес нөлдің бөлгіштері деп атаймыз.Сандық сақиналарда нөлдің тривиал емес бөлгіштерінің жоқ болатындығы түсінікті.Нөлдің тривиал емеы бөлгіштері бар сақинаның мысалы матрицалардың сақинасы бола алады.

6.Векторлық кеңістіктер.Анықтамасымен мысалдары.

Анықтама1: <P:+:*> өрісі үстіндегі сызықтық кеңістік деп қандай да бір X жиыны мен P жиынының <X,P> жұбын айтамыз.Бұл жерде X,оның элементтерін өзара : XxX→X қосу және P элементтеріне ○:PxX→X көбейту амалдары анықталған жиын.X жиынының элементтерін векторлар деп атаймыз.Сонымен қатар, <Х,P> жұбы келесі 8 аксиомаларды қанағаттандыруы керек:

L1 векторларды қосу амалы комутатив (ауыстырымды).

L2 векторларды қосу амалы ассоциатив(терімді).

L3 қосу амалына қатысты бір ерекше эементтің бар болуы.Бұл элементті нөлдік вектор деп атаймыз да,әдетте,әріпімен белгілейміз.

L4 қосу амалына қатысты қарама қарсы векторлар табылу аксиомасы.Бұл аксиоманы қанағаттандыратын b векторын a-ға қарама-қарсы вектор деп атаймыз.

L5 _{векторды P өрісінің бірлігіне көбейтудің ерекшелігі;}

_{L6 -өріс коэффициенттеріне векторларды көбейту амалы ассоциатив (терімді);}

_{L7 -өріс коэффициенттеріне векторларды көбейту амалы коэффициенттерді қосу амалы бойынша дистрибутив(терімді);}

_L8 -өріс коэффициенттерін векторларға көбейту амалы векторларды қосу амалы бойынша дистрибутив (үлестірімді).

Байқасақ,<X,P> сызықтық кеңістігінде біз төрт амалды қолданамыз:+,

екі қосу және *,○ екі көбейту амалдары.Шынында,тек + және * екі символымен шектелуге болады.Векторлар мен өрістің элементтеріне қолданылған амалдарды шатастырмау үшін мынандай келісімге келейік:P өрісінің элементтерін белгілеу үшін α,β,γ,... грек алфавитінің кіші әріптерін,ал X кеңістігінің векторларын белгілеу үшін латын алфавитінің(басым жағдайларда кіші)a,b,c,... немесе x,y,z,... әріптерін пайдаланайық.Бұл келісімнен жалғыз θ ғана нөлдік векторы тыс қалады.Сонымен қатар,математикада ежелден келе жатқан әдет бойынша,көп жағдайда көбейту таңбасын жазбасақ та болады.Осы келісімге сүйеніп,сызықтық кеңістіктің аксиомаларын келесі түрде жазуға болады:

R өрісі үстіндегі сызықтық кеңістікті нақты,ал С өрісі үстіндегісін-комплекс сызықтық кеңістік деп атайды.

Мысал1.P кез келген өріс болсын.Арифметикалық Rⁿ кеңістігіне ұқсас болатын Pⁿ кеңістігін анықтайық. Pⁿ-дегі векторлар құрамында P-ның n элементтері бар жолдар(немесе бағандар), ал Pⁿ-дегі сызықтық амалдар Rⁿ-дегі сызықтық амалдарға ұқсас болсын.Онда < Pⁿ,P> жұбы сызықтық кеңістік құрайды, себебі оның векторларын M_1xn(P) дағы (сәйкес M_1xn(P) -дағы) матрицалар деп санауға болады.