14.4. Межі застосування формули Ейлера і побудова повного

графіка критичних напружень

Здавалося б, що одержані в попередніх параграфах результати вирішують задачу перевірки стиснутого стержня на стійкість і залишається вибрати лише коефіцієнт запасу . Проте це далеко не так. Найближче ж вивчення числових величин, отриманих за формулою Ейлера, показує, що вона дає правильні результати лише у певних межах.

У таблиці 14.1. приведені величини критичних напружень, обчислених при різних значеннях гнучкості для сталі Ст3, яка, як правило використовується в металевих конструкціях.

Графічно залежність від , розрахована за формулою (14.12) представлена на рис.14.5. Ця залежність представляється гіперболічною кривою, так званою «гіперболою Ейлера». При використанні цієї кривої треба враховувати, що формула (14.12) одержана за допомогою інтегрування диференціального рівняння зігнутої осі балки, тобто в припущенні, що напруження в стержні у момент втрати стійкості не перевищують межі пропорційності.

Критичні напруження σк .

Таблиця 14.1.

Значення гнучкості	Критичні напруження σк при Е=2·105 МПа
150
100
80
50

Отже, ми не маємо права користуватися величинами критичних напружень, обчислених за формулою Ейлера, якщо вони виходять більшими за цю межу для даного матеріалу. Інакше кажучи, формула Ейлера може бути застосована лише при дотриманні умови: або

. (14.17)

Якщо з нерівності (14.17) виразити гнучкість , то умова можливості використання формули Ейлера одержить інший вигляд:

. (14.18)

Підставляючи відповідні значення модуля пружності і межі пропорційності для даного матеріалу, знаходимо найменше значення гнучкості, при якій ще можна користуватися формулою Ейлера. Для сталі 3 межу пропорційності може бути прийнято рівною , тому, як видно з таблиці 14.1. і з формули (14.18) для стержнів з цього матеріалу можна користуватися формулою Ейлера лише при гнучкості

,

тобто більшої, ніж 100.

Для сталі 5 при формула Ейлера може бути застосована при гнучкості ; для чавуну — при , для сосни — при і т.д. Якщо на рис.14.5. провести горизонтальну лінію з ординатою, рівною , то вона розітне гіперболу Ейлера на дві частини; користуватися можна лише нижньою частиною графіка, що характерізує поведінку порівняно тонких і довгих стержнів, втрата стійкості яких відбувається при напруженнях, не вищих за межу пропорційності.

Теоретичне рішення, одержане Ейлером, виявилося здатним до застосування на практиці лише для дуже обмеженої категорії стержнів, а саме, тонких і довгих, з великою гнучкістю. Тим часом, в конструкціях дуже часто зустрічаються стержні з малою гнучкістю. Спроби використовувати формулу Ейлера для обчислення критичних напружень і перевірки стійкості при малих гнучкостях приводили іноді до вельми серйозних катастроф, та й досліди над стиском стержнів показують, що при критичних напруженнях, більших від межі пропорційності, дійсні критичні сили є значно меншими від визначених за формулою Ейлера.

Таким чином, треба знайти спосіб обчислення критичних напружень і для тих випадків, коли вони перевищують межу пропорційності матеріалів, наприклад, для стержнів з м'якої сталі при гнучкостях від 0 до 100.

Необхідно зразу ж відзначити, що в даний час найважливішим джерелом для встановлення критичних напружень за межею пропорційності, тобто за умов малих і середніх гнучкостей, є результати експериментів. Є спроби і теоретичного рішення цієї задачі, але вони швидше вказують шлях до подальших досліджень, ніж дають підстави для практичних розрахунків.

Перш за все треба виділити стержні з малою гнучкістю, (від 0 приблизно до 30—40) у них довжина порівняно невелика по відношенню до розмірів поперечного перетину. Наприклад, для стержня круглого перетину гнучкості 20 відповідає відношення довжини до діаметру, рівне 5. Для таких стержнів важко говорити про явище втрати стійкості прямолінійної форми всього стержня в цілому в тому значенні, як це має місце для тонких і довгих стержнів.

Ці короткі стержні виходитимуть з ладу головним чином за рахунок того, що напруження стиску в них досягатимуть межі текучості σ_т (для пластичного матеріалу) або межі міцності (для крихкого матеріалу). Тому для коротких стержнів, до гнучкості приблизно , критичні напруження будуть рівні, або трохи нижчі (за рахунок певного викривлення осі стержня, що все ж таки має місце), відповідно або (сталь), або (чавун, дерево).

Таким чином, маємо два граничні випадки роботи стиснутих стержнів: короткі стержні, які втрачають вантажопід'ємність в основному за рахунок руйнування матеріалу від стиску, і довгі, для яких втрата вантажопід'ємності викликається порушенням стійкості прямолінійної форми стержня. Кількісна зміна співвідношення довжини і поперечних розмірів стержня змінює і весь характер явища руйнування. Загальним залишається лише раптовість появи критичного стану в розумінні раптового різкого зростання деформацій.

У стиснутих стержнях великої гнучкості, для яких може бути застосована формула Ейлера, після досягнення силою Р критичного значення зазвичай спостерігається різке зростання деформацій. До цього моменту прогини, як правило, збільшуються із зростанням навантаження, але залишаються незначними. Теоретично можна б було чекати, що до критичної сили стержень залишатиметься прямим; проте ряд неминучих на практиці обставин — початкова кривизна стержня, деякий ексцентриситет навантаження, місцеві перенапруження, неоднорідність матеріалу — викликають невеликі прогини і при стискаючих силах, менших за критичні.

Подібний же характер має і залежність укорочень від напружень при стиску коротких стержнів; має місце та ж раптовість зростання деформацій при певній величині напружень (коли ).

Залишається тепер розглянути поведінку стиснутих стержнів при середніх величинах гнучкості, наприклад для стальних стержнів при гнучкостях від 40 до 100; з подібними значеннями гнучкостей інженер найчастіше зустрічається на практиці.

За характером руйнування ці стержні наближаються до категорії тонких і довгих стержнів; вони втрачають свою прямолінійну форму і руйнуються при явищах значного бічного вигинання. При дослідах для них можна наголосити на наявності явно вираженої критичної сили в «ейлеровому» значенні; критичні напруження виходять вище за межу пропорційності і нижче за межу текучості для пластичних і межу міцності для крихких матеріалів.

Проте втрата прямолінійної форми і зменшення критичних напружень у порівнянні з короткими стержнями, для стержнів середньої гнучкості пов'язані з такими ж явищами втрати міцності матеріалу, які викликають втрату вантажопід'ємності в коротких стержнях. Тут комбінуються і вплив довжини, що знижує величину критичних напружень, і вплив значного зростання деформацій матеріалу при напруженнях за межею пропорційності.

Експериментальне визначення критичних сил для стиснутих стержнів проводилося неодноразово як у нас, так і за кордоном. Особливо значний дослідний матеріал зібрав проф. Ф. Ясинський, що склав таблицю критичних (руйнуючих) напружень залежно від гнучкості для цілого ряду матеріалів, що поклало початок сучасним методам розрахунку стиснутих стержнів на стійкість.

На підставі одержаного дослідного матеріалу можна вважати, що при критичних напруженнях, менших межі пропорційності, всі експерименти підтверджують формулу Ейлера для будь-якого матеріалу.

Для стержнів середньої і малої гнучкості були запропоновані різні емпіричні формули, що показують, що критичні напруження при таких гнучкостях змінюються за линійним законом розподілу:

, (14.19)

де і — коефіцієнти, залежні від матеріалу, а —гнучкість стержня. Для литого заліза Ясинській одержав: , . Для сталі 3 при гнучкостях від до коефіцієнти і можуть бути прийняті: ; . Для дерева (сосна): , .

Дані про коефіцієнти “а” і “b” для інших матеріалів приводяться в довідниках. Іноді зручні емпіричні формули, що дають для непружної області зміну критичних напружень за законом квадратної параболи; до них відноситься формула

. (14.20)

σ_к(МПа)