14.3. Вплив способу закріплення кінців стержня

Формула Ейлера була одержана шляхом інтегрування наближеного диференціального рівняння зігнутої осі стержня при певному закріпленні його кінців (шарнірно-опертих). Значить, знайдений вираз критичної сили справедливий лише для стержня з шарнірно-опертими кінцями і зміниться при зміні умови закріплення кінців стержня.

Закріплення стиснутого стержня з шарнірно-опертими кінцями називають основним випадком закріплення. Інші види закріплення приводитимемо до основного випадку.

Якщо повторити весь хід висновку для стержня, жорстко защімленого одним кінцем і навантаженого осьовою стискаючою силою на іншому кінці (рис.14.4.”б”), то ми одержимо інший вираз для критичної сили, а отже, і для критичних напружень.

Підійдемо до з'ясування критичної сили для цього випадку шляхом наступних простих міркувань. Хай при досягненні силою критичного значення колона зберігатиме рівновагу при малому вигині по кривій . Порівнюючи рис.14.4.”а” та 14.4.”б”, бачимо, що зігнута вісь стержня,

F_кр F_кр F_кр F_кр

l 0,5l 0,7l

а) б) в) г)

Рис. 14.4. Вигин осі при різних способах закріплення:

а) µ = 1; б) µ = 2; в) µ = 0,5; г) µ = 0,7

жорстко закріпленого одним кінцем, знаходиться абсолютно в тих же умовах, що і верхня частина стержня подвійної довжини з шарнірно-закріпленими кінцями. Значить, критична сила для стійки завдовжки з одним жорстко закріпленим, а іншим вільним кінцями буде та ж, що для стійки з шарнірно-опертими кінцями при довжині :

. (14.13)

Якщо звернутися до випадку стійки, у якої обидва кінці жорстко закріплені і не можуть повертатися (рис.14.4.”в”), то помітимо, що при вигині, за симетрією, середня частина стержня, завдовжки , працюватиме в тих же умовах, що і стержень при шарнірно-опертих кінцях (оскільки в точках перегину і згинаючі моменти рівні нулю, то ці точки можна розглядати як шарніри).

Тому критична сила для стержня із жорстко закріпленими кінцями, довжиною , рівна критичній силі для стержня основного випадку завдовжки : . (14.14)

Формули (14.14) і (14.14) можна об'єднати з формулою для критичної сили основного випадку і записати:

; (14.15)

тут — так званий, коефіцієнт приведення довжини, рівний відповідно:

при шарнірних кінцях (основний випадок) ;

» одному вільному, іншому жорстко защімленому ;

» обох жорстко закріплених . .

Для стержня, зображеного на рис.14.4.”г”, з одним жорстко закріпленим, а іншим шарнірно-опертим кінцями, коефіцієнт виявляється приблизно рівним а критична сила:

. (14.16)

Величина µl називається приведеною (вільною) довжиною; за допомогою коефіцієнта приведення довжини будь-який випадок конкретного виконання опор стержня можна звести до основного; треба лише при обчисленні гнучкості замість дійсної довжини стержня ввести в розрахунок приведену довжину µl. Поняття про приведену довжину було, вперше введено професором Петербурзького інституту інженерів шляхів сполучення Ф. Ясинським.

Ясинський Фелікс Станіславович - (15.09.1856- 18.11.1899). Інженер та вчений в галузі будівельної механіки та теорії пружності. Був начальником технічного відділу Петербурзько-Московської залізниці, професором Петербурзького інституту інженерів шляхів сполучень, а також викладав в інших інститутах. Один з засновників розрахунків на стійкість. Вказав на необхідність введення коефіціента зменшення основного допустимого напруження. Його теорія суттєво вплинула на подальші розрахунки в галузі теорії стійкості.

На практиці, проте, майже ніколи не зустрічаються в чистому вигляді ті закріплення кінців стержня, які ми маємо на наших розрахункових схемах (рис. 14.4.”а”,”б”,”в”,”г”). Замість кульових опор зазвичай застосовуються циліндричні шарніри. Подібні стержні слід рахувати шарнірно-опертими при вигині їх в площині, перпендикулярній до осі шарнірів; при викривленні ж в площині цих осей кінці стержнів слід вважати жорстко закріпленими (з урахуванням зауважень, приведених нижче для жорстко закріплених кінців).

У конструкціях дуже часто зустрічаються стиснуті стержні, кінці яких приклепані або приварені до інших елементів, часто ще з додаванням в місці прикріплення листів фасонів. Таке закріплення, проте, важко вважати жорстким закріпленням, оскільки частини конструкції, до яких прикріплені ці стержні, самі можуть не бути абсолютно жорсткими.

Тим часом, достатньо можливості вже невеликого повороту опорного перерізу в жорсткому закріпленні, щоб воно опинилося в умовах, дуже близьких до шарнірного. Тому на практиці неприпустимо розраховувати такі стержні, як стійки з абсолютно жорстко закріпленими кінцями. Лише в тих випадках, коли має місце дуже надійне закріплення кінців, допускається невелике (відсотків на 10—20) зменшення вільної довжини стержня.

Нарешті, на практиці зустрічаються стержні, що опираються на сусідні елементи по всій площині опорних поперечних перетинів. Сюди відносяться дерев'яні стійки, окремо поставлені металеві колони, притягнуті болтами до фундаменту, і т.п. При ретельному конструюванні опорного черевика і з'єднання його з фундаментом можна вважати ці стержні такими, що мають жорстко закріплений кінець. Сюди ж відносяться могутні колони з циліндричним шарніром при розрахунку їх на вигин в площині осі шарніра. Звичайно ж важко розраховувати на надійне і рівномірне прилягання плоского, кінцевого перетину стиснутого стержня до опори. Тому вантажопідйомність таких стійок звичайно мало перевищує вантажопідйомність стержнів з шарнірно-опертими кінцями.