14.2. Формула Ейлера для критичної сили

Для знаходження критичних напружень треба обчислити критичну силу , тобто найменшу осьову стискаючу силу, здатну утримати в рівновазі злегка викривлений стиснутий стержень. Цю задачу вперше вирішив академік Петербурзької Академії наук Л. Эйлер в 1744 році.

Ейлер Леонард (15.04.1707.-18.09.1783) – математик, механік, фізик та астроном, акад. Петер- бурзької АН. Наукові інтереси – до всіх галузей природознавства, до яких можна було прикласти математичні методи досліджень. Наукові праці в галузі варіаційного числення, теорії розв'язку диференціальних рівнянь, степеневих рядів, спеціальних функцій, гідродинаміці, небесній механіці, теорії теплоти, оптиці, механіці. Заклав основи математичної фізики, механіки твердого тіла. Список наукових праць включає понад 850 найменувань.

Відмітимо, що сама постановка задачі інша, ніж у всіх раніше розглянутих розділах курсу. Якщо раніше ми визначали деформацію стержня при заданих зовнішніх навантаженнях, то тут ставиться зворотня задача: задавши викривлення осі стиснутого стержня, слід визначити, при якому значенні осьової стискаючої сили таке викривлення можливе.

Розглянемо прямий стержень постійної жорсткості, шарнірно опертий по кінцях; одна з опор допускає можливість поздовжнього переміщення відповідного кінця стержня (Рис.14.2.). Власною вагою стержня нехтуємо.

F_к Навантажимо стержень центрально прикладеними

повздовжньо стискаючими силами і дамо йому

вельми невелике викривлення в площині якнайменшої

жорсткості. Стержень буде утримується у викривленому

стані, що є можливим, оскільки .

Деформація згину стержня припустима вельми

l малою, тому для вирішення поставленої задачі можна

скористатися наближеним диференціальним рівнянням

зігнутої осі стержня.

y Вибравши початок координат в точці і напрям

x координатних осей, як показано на рис.14.2, матимемо:

У .

Візьмемо перетин на відстані від початку

координат;

Рис.14.2. Розгляд викрив- ордината зігнутої осі в цьому перетині буде , а

лення стержня згинаючий момент дорівнюватиме

.

На схемі, зображеній на рис.14.2., згинаючий момент є від'ємним, ординати ж при вибраному напрямі осі виявляються додатними. (Якби стержень викривився, опуклістю в інший бік, то момент був би додатнім, а — від'ємним, і знов таки )

Тоді наближене диференціальне рівняння зігнутої осі балки набуде вигляд:

. (14.2)

Поділяючи обидві частини рівняння на і, позначаючи дріб через ,

приводимо його до вигляду:

. (14.3)

Загальний інтеграл цього рівняння має вигляд:

. (14.4)

Це рішення містить в собі три невідомих: постійні інтегрування і і значення , оскільки величина критичної сили нам невідома.

Граничні умови на кінцях стержня дають два рівняння:

у точці при прогин ;

- » -- » --В -- » » -- .

З першої умови виходить (оскільки і )

.

Таким чином, зігнута вісь стержня є синусоїдою з рівнянням

. (14.5)

Застосовуючи другу умову, підставляємо в це рівняння

та

і отримуємо:

. (14.6)

Звідси витікає, що або або рівні нулю.

Якщо рівне нулю, то з рівняння (14.5) виходить, що прогин в будь-якому перетині стержня рівний нулю, тобто стержень залишився прямим. Це суперечить початковим умовам нашого висновку. Отже, , і величина може мати наступний нескінчений ряд значень:

(14.7)

де — будь яке ціле число.

Звідси , а оскільки , то

та . (14.8)

Інакше кажучи, навантаження, здатне утримати дещо викривлений стержень в рівновазі, теоретично може мати цілий ряд значень. Але оскільки відшукується (і цікаве з практичної точки зору) найменше значення осьової стискаючої сили, при якій стає можливим подовжній згин, то слід прийняти .

Перший корінь вимагає, щоб було рівне нулю, що не відповідає початковим даним задачі; тому цей корінь повинен бути відкинутий і якнайменшим коренем береться значення . Але саме можливістю цієї величини перевищувати значення “1” можна пояснити, наприклад, той випадок, коли за допомогою потужного преса неможливо вдавити цвях у дерев”яну дошку, в той час, як досвідчений майстер може забити такий цвях одним сильним і точним ударом (запропонувати аудиторії розібратися з цим прикладом).

Тоді отримуємо:

. (14.9)

Це — так звана формула Ейлера для стиснутого стержня з шарнірно-опертими кінцями. Значенню критичної сили (14.9) відповідає вигин стержня по синусоїді з однією напівхвилею (14.5).

. (14.10)

Значенням критичної сили вищих порядків відповідають викривлення по синусоїдах з двома, трьома і т.д. напівхвилями (рис.14.3.):

F_к2 F_к3 . (14.11)

Таким чином, чим більше точок

перегину матиме В синусоїдально-викривлена

вісь стержня, тим більшою повинна бути

критична сила. Більш повні дослідження

В показують, що форми рівноваги, які

визначаються формулами (14.11), нестійкі;

вони переходять в стійкі форми лише за

наявності проміжних опор в точках

С і (рис.14.3.).

Таким чином, поставлена задача

а) б) розв”язана; для нашого стержня якнайменша

критична сила визначається формулою :

Рис.14.3. Викривлення осі ,

а) при n=2; б) при n=3 а зігнута вісь представляє з себе синусоїду:

.

Величина постійної інтегрування “а” залишилася невизначеною; фізичне значення її з'ясується, якщо в рівнянні синусоїди покласти ; тоді (тобто посередині довжини стержня) набуде значення:

.

Тобто, — це прогин стержня в перетині посередині його довжини. Оскільки при критичному значенні сили F рівновага зігнутого стержня можлива при різних відхиленнях його від прямолінійної форми (лише б ці відхилення були малими), то природньо, що прогин залишається невизначеним.

Він повинен бути при цьому настільки малим, щоб ми мали право застосовувати наближене диференціальне рівняння зігнутої осі, тобто щоб було малим в порівнянні з одиницею.

Визначивши значення критичної сили, можна знайти і величину критичного напруження , розділивши силу на площу перетину стержня ; оскільки величина критичної сили визначалася з розгляду деформацій стержня, на яких місцеві ослаблення площі перетину позначаються вкрай слабо, то у формулу для входить момент інерції ; тому прийнято при обчисленні критичних напружень, а також при складанні умови стійкості вводити в розрахунок повну, а не ослаблену площу поперечного перетину стержня . Тоді

. (14.12)

Таким чином, критичне напруження для стержнів даного матеріалу є обернено пропорційним до квадрата відношення довжини стержня до якнайменшого радіусу інерції його поперечного перетину. Це відношення називається гнучкістю стержня і відіграє вельми важливу роль у всіх перевірках стиснутих стержнів на стійкість.

З формули (32.12) видно, що критичне напруження при тонких і довгих стержнях може бути вельми малим, нижчим за основне допустиме напруження . Так, для сталі 3 з межею міцності та межею текучості σ_m=240МПа напруження, що допускається, може бути прийнято ; критичне ж напруження для стержня з гнучкістю при модулі пружності матеріалу буде дорівнювати:

.

Таким чином, якби площа стиснутого стержня з такою гнучкістю була підібрана лише за умовою міцності, то стержень руйнувався б від втрати стійкості прямолінійної форми.