3 Курс (VI семестр)
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.
Проверяется знание студентом основных определений, формулировок теорем, свойств отношений отношения делимости и раздела «Расширение понятия о числе» в соответствии со следующим списком тем:
1. Отношение делимости на множестве N (Z0). Свойства и вид этого отношения. Другие свойства отношения делимости.
2. Теоремы о делимости суммы, разности, произведения и следствия из них.
3. Понятие признака делимости. Доказательство признаков делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 25.
4. Простые и составные числа. Разбиение множества целых неотрицательных чисел на 4 класса по количеству делителей.
5. Теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел.
6. Свойства простых чисел и следствия из них.
7. Решето Эратосфена.
8. НОД и его свойства.
9. НОК и его свойства.
10. свойства НОД и НОК.
11. Признак делимости на составное число.
12 Канонический вид числа. Основная теорема арифметики.
13 Нахождение НОД и НОК чисел по их каноническому виду.
14. Алгоритм Евклида.
15. Задачи и принципы расширения числовых множеств.
16. Требования к построению множества положительных рациональных чисел.
17. Вывод понятия обыкновенной дроби. Равенство дробей.
18. Теорема о том, что длину одного и того же отрезка можно выразить различными обыкновенными дробями. Основное свойство дроби. Применение основного свойства в математике.
19. Отношение равносильности обыкновенных дробей, его свойства и вид.
20. Доказательство критерия равносильности обыкновенных дробей.
21. Понятие положительного рационального числа.
22.
Выполнимость отношения: N
Q+.
23. Теорема о том, что любые два положительных рациональных числа можно представить обыкновенными дробями с одинаковыми знаменателями.
24. Правило сложения обыкновенных дробей. Алгоритм сложения ПРЧ.
25. Существование и единственность суммы положительных рациональных чисел.
25. Законы сложения во множестве Q+. Доказательство коммутативности и ассоциативности.
27. Правило вычитания обыкновенных дробей. Алгоритм вычитания ПРЧ.
28. Существование и единственность разности положительных рациональных чисел.
29. Законы вычитания во множестве Q+. Доказательство правил вычитания числа из суммы и суммы из числа.
30. Правило умножения обыкновенных дробей. Алгоритм умножения ПРЧ.
31. Существование и единственность произведения положительных рациональных чисел.
32. Законы умножения во множестве Q+. Доказательство ассоциативности и дистрибутивности умножения относительно сложения или вычитания.
33. Правило деления обыкновенных дробей. Алгоритм деления ПРЧ.
34. Существование и единственность частного положительных рациональных чисел.
35. Законы деления во множестве Q+. Доказательство дистрибутивности деления относительно сложения, а также правил деления числа на произведение и произведения на число.
36. Отношение «больше (меньше)» во множестве Q+, его свойства и вид.
37. Свойства множества Q+. Доказательство упорядоченности, отсутствия наибольшего (наименьшего) положительного рационального числа, плотности.
38. Теорема о существовании несоизмеримых отрезков. Понятие положительного иррационального числа.
39. Понятие положительного действительного числа. Множество R+.
40. Приближения по недостатку и по избытку положительного действительного числа. Действия над положительными действительными числами.
41. Отношение порядка во множестве положительных действительных чисел. Свойства множества R+. Геометрическая интерпретация множества R+.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ (примерные задания для решения на зачете)
1). Докажите, что:
- разность квадратов двух последовательных четных натуральных чисел делится на 4;
- если натуральные числа a и b при делении на 7 дают один и тот же остаток, то разность квадратов этих чисел делится на 7;
- разность квадратов двух последовательных натуральных чисел есть число нечетное;
- произведение двух последовательных четных натуральных чисел кратно 8;
- если одно из натуральных чисел при делении на 5 дает остаток 3, а другое – остаток 1, то сумма их квадратов делится на 5.
2). Используя метод математической индукции, докажите, что для любого натурального числа n истинно следующее утверждение:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3). Используя алгоритм Евклида, найдите наибольший общий делитель чисел:
а) 1035 и 851; б) 1295 и 2035; в) 1242 и 1248; г) 2035 и 925.
4). Является ли число 221 (191, 199, 203, 227) простым?
5). Не находя значения выражения, установите, верно ли что:
а) (28242 + 52020 + 54) 18; б) (321 . 102 . 35) 45; в) (46 3 – 46 2) 45;
г) (123 . 702 . 25) 45; д) (27 9 + 27 10) 28 ?
6). Представив числа в каноническом виде, найдите их НОД и НОК:
а) 600 и 630; б) 600 и 1050; в) 1050 и 2205;
г) 2600 и 1820; д) 2205 и 1350.
7).
Сократите дроби:
;
;
;
.
Выберите, какие из этих дробей удобнее
сократить по алгоритму Евклида, какие
– по каноническому виду числа.
8).
Найдите дробь, равносильную дроби
и имеющую знаменатель 111111.
9). Докажите, что при любом натуральном значении а следующие дроби несократимы:
а)
;
б)
.
10).
Сумму чисел
и
уменьшите на
.
Найдите три способа выполнения этого
задания. Каким законом вычитания
пользовались?
11). Какое из чисел ближе к единице: или ?
12). Решите уравнение, используя зависимости между компонентами и результатами действий:
а)
б)
.
13).
Какие цифры можно поставить вместо *,
чтобы получилась правильная несократимая
дробь: а)
;
б)
?
14). Решите задачу алгебраическим методом: «Числитель данной дроби на 4 больше знаменателя. Если числитель этой дроби уменьшить на 4, а знаменатель умножить на 2, то получится дробь меньше первой на 1. Найдите первоначальную дробь».
15). Найдите рациональный способ
вычисления значения выражения:
16). Найдите и обоснуйте наиболее рациональный способ нахождения значения выражения:
1) 8,3 + 3,85 +9,7 + 5,15 + 2,25 + 0,125; 2)
.
17).
Запишите в виде обыкновенной дроби:
0,(301);
;
;
5,7(27); 6,31(8); 15,43(29).
18). Докажите, что 0,27(9) = 0,28(0).
19). Сравните выражения:
а)
и
;
б)
и
;
в)
и
20). Определите вид десятичной дроби, соответствующей данной обыкновенной:
а)
;
б)
;
в)
.
21).
Расположите дроби в порядке возрастания,
используя прием поразрядного сравнения:
;
0,3(88); 0,(38); 0,(388); 0,388.
22).Решите задачи, не применяя уравнений:
- Группа туристов наметила пройти путь
от турбазы до озера за четыре дня. В
первый день она наметила пройти
всего пути, во второй день -
оставшегося, а в третий и четвертый
проходить по 12 км. Какова длина всего
пути?
- В колхозном саду сливовые деревья составляют 1/6 всего количества плодовых деревьев, яблони 8/15, а остальные 360 деревьев грушевые. Сколько плодовых деревьев в колхозном саду?
- Из двух пунктов, расстояние между которыми 340 км, вышли одновременно навстречу друг другу два электропоезда. Скорость одного из них была на 5 км/ч больше скорости другого. С какой скоростью шли поезда, если известно, что через 2 часа после начала движения им оставалось пройти до встречи 30 км?
- Расстояние между совхозом и городом, равное 170 км, мотоциклист приехал за 5 часов. Первые два часа он ехал со скоростью, на 10 км/ч большей, чем на остальной части пути. Какой была скорость мотоциклиста на первой и на второй частях пути?
17. Выполните действия: ((0,(06) + 1/3) : 0,25) : (0,12(3) : 0,0925) + 12,5 . 0,64.
18. Повторите упражнения, которые были решены во время шестого семестра.
ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА