3. Транспортная задача

Постановка задачи. Требуется найти план перевозок однородного груза из пунктов А₁,...,А_m, содержащих соответственно а₁, а₂, ...., а_m единиц груза, в пункты В₁, В₂, ... , В_n в количествах b₁, b₂, ... , b_n соответственно, при котором суммарные транспортные затраты будут наименьшими.

Известны с_ij – затраты на перевозку 1 единицы груза из пункта А_i и B_j. Транспортная задача называется закрытой, если выполняется условие баланса:

В противном случае транспортная задача – открытая.

Теорема 1. Транспортная задача при условии выполнения баланса всегда имеет оптимальное решение.

Теорема 2. Число базисных неизвестных транспортной задачи равно m+n-1.

Чтобы решить транспортную задачу, необходимо прежде всего найти исходный опорный план. При этом используются два метода: метод ''северо-западного угла'' или метод наименьшего элемента.

По методу ''северо-западного угла'' необходимо удовлетворить потребность пункта В₁ за счёт А₁. Если a₁>b₁, то в клетку А₁В₁ записываем b₁ и этот пункт из рассмотрения исключаем, при этом запоминаем, что в пункте А₁ осталось а₁–b₁ единиц груза. Если же а₁<b₁, то записываем а₁ в А₁В₁ и исключаем пункт А₁. Если же а₁ = b₁, то это число записываем в А₁В₁, а в следующую (по строке или столбцу) клетку записываем ноль и исключаем пункты А₁ и В₁. Продолжаем распределять груз до получения допустимого плана.

Пример.

Bj Аi	В1 50	В2 100	В3 125	В4 75	В5 50
A1 100	4 50	5 50	3	7	2
A2 50	2	3 50	8	7	5
A3 150	4	2 0	4 125	3 25	6
A4 100	6	4	5	3 50	5 50

Число базисных клеток m + n – 1 = 4 + 5 – 1 = 8.

Затраты на данный план

.

Метод наименьшего элемента учитывает затраты на перевозку. Выбираем клетку с наименьшим тарифом (если таких клеток несколько, выбираем любую) и записываем в эту клетку максимально возможную поставку, исключаем один из пунктов или А_i, или B_j. Если же исключается два пункта одновременно, то записываем в рядом стоящую клетку ноль.

Пример.

Bj Аi	В1 50	В2 100	В3 125	В4 75	В5 50	Ui
A1 100	4 5	5 5	3 50	7 6	2 350	U1 = 0
A2 50	2 50	3 0	8 2	7 3	5 0	U2 = 3
A3 150	4 3	2 100	4 –1 +	3 -50	6 2	U3 = 2
A4 100	6 5	4 2	5 75-	3 +25	5 1	U4 = 2
Vj	V1 = –1	V2 = 0	V3 = 3	V4 = 1	V5 = 2

Число заполненных клеток m + n – 1 = 8. Затраты

.

Транспортная задача решается методом потенциалов. Каждой строке таблицы и каждому столбцу ставится в соответствие число, называемое потенциалом.