Задачи для контрольной работы №1

Предположим, что для производства двух видов продукции А и В можно использовать сырьё трёх видов. При этом на изготовление единицы изделия А расходуется а₁ ед. сырья первого вида, а₂ – ед. 2-го и а₃ – 3-го вида. На изготовление единицы изделия В расходуется b₁ ед. сырья 1-го вида, b₂ – ед. 2-го вида, b₃ – ед. 3-го вида сырья. На складе фабрики имеется сырья 1-го вида с₁ ед., 2-го – с₂, 3-го – с₃ ед. От реализации единицы готовой продукции фабрика имеет прибыль α тыс. руб., а от продукции В прибыль составляет β тыс. руб.

Составить математическую модель исходной задачи. Найти решение симплексным методом и графически.

1. a₁=4, a₂=2, a₃=3; b₁=2, b₂=5, b₃=4;

c₁=35, c₂=43, c₃=40; α=5, β=9.

2. a₁=2, a₂=3, a₃=4; b₁=3, b₂=5, b₃=4;

c₁=30, c₂=44, c₃=48; α=7, β=9.

3. a₁=3, a₂=5, a₃=2; b₁=2, b₂=3, b₃=4;

c₁=35, c₂=49, c₃=42; α=1, β=1.

4. a₁=4, a₂=2, a₃=3; b₁=3, b₂=5, b₃=2;

c₁=45, c₂=45, c₃=29; α=5, β=9.

5. a₁=4, a₂=2, a₃=3; b₁=3, b₂=2, b₃=2;

c₁=55, c₂=30, c₃=37; α=5, β=4.

6. a₁=5, a₂=4, a₃=3; b₁=2, b₂=2, b₃=3;

c₁=55, c₂=40, c₃=42; α=7, β=5.

7. a₁=2, a₂=4, a₃=4; b₁=3, b₂=2, b₃=5;

c₁=35, c₂=38, c₃=59; α=8, β=7.

8. a₁=2, a₂=4, a₃=3; b₁=3, b₂=2, b₃=5;

c₁=35, c₂=42, c₃=49; α=3, β=3.

9. a₁=2, a₂=3, a₃=4; b₁=3, b₂=5, b₃=2;

c₁=35, c₂=49, c₃=42; α=2, β=2.

10. a₁=4, a₂=2, a₃=3; b₁=2, b₂=5, b₃=4;

c₁=35, c₂=43, c₃=40; α=5, β=9.

2. Двойственность в линейном программировании

Каждой задаче линейного программирования можно поставить в соответствие другую задачу линейного программирования, называемую двойственной.

Рассмотрим стандартную задачу

z = c₁x₁ + c₂x₂ + ..... + c_nx_n

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ..... + a_1nx_n b₁, y₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ..... + a_2nx_n b₂, y₂

................................................. (5)

a_m1x₁ + a_m2x₂ + ..... + a_mnx_n b_m, y_m

x_j 0 (j=1,..., m)

Каждому ограничению ставится в соответствие переменная двойственной задачи. Двойственная задача имеет вид

W = b₁y₁ + b₂y₂ + ...... + b_my_m

a₁₁y₁ + a₂₁y₂ + ...... + a_m1y_m c₁, x₁

a₁₂y₁ + a₂₂y₂ + ...... + a_m2y_m c₂, x₂

............................................... (6)

a_1ny₁ + a_2ny₂ + ...... + a_mny_m c_n, x_n

y_i 0 (i=1,....,m)

Задачи (5) – (6) обладают следующими свойствами:

1. В одной задаче целевая функция стремится к максимуму, в другой – к минимуму.

2. Число неизвестных одной задачи равно числу ограничений другой задачи.

3. В каждой задаче система ограничений задётся в виде неравенств, причём все они одного смысла, а именно: при нахождении максимума целевой функции эти неравенства имеют вид , а при нахождении минимума – вид .

4. Свободные члены ограничений исходной задачи являются коэффициентами целевой функции двойственной задачи, а коэффициенты целевой функции исходной задачи – свободные члены ограничений двойственной задачи.

5. Матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений (5) – (6) транспонированы относительно друг друга.

Задачи линейного программирования, удовлетворяющие перечисленным условиям, называются симметричными взаимно двойственными задачами.

Пример. Составить к данной задаче двойственную

Z = 5x₁ + 2x₂

8x₁ + 7x₂ 417, y₁

14x₁ + 8x₂ 580, y₂

14x₁ + x₂ 591, y₃

x₁ 0, x₂ 0

Получим:

w = 417y₁ +580y₂ +591y₃

8y₁ + 14y₂ +14y₃ 5 x₁

7y₁ + 8y₂ + y₃ 2 x₂

y_i 0 (i=1, 2, 3)

Решим исходную задачу симплексным методом

cj	базис (xj)	аi0	5	2	0	0	0
			х 1	х2	х3	х4	х5
0 0 0	x3 x4 x5	417 580 591	8 14 14	7 8 1	1 0 0	0 1 0	0 0 1	417/8 580/14 591/14
	z	0	–5	–2	0	0	0
0 5 0	x3 x1 x5	599/7 580/14 11	0 1 0	17/7 4/7 –7	1 0 0	–4/7 1/14 –1	0 0 1
	z	1450/7	0	6/7	0	5/14	0

y₁ y₂ y₃

Между переменными задач (5)-(6) существует взаимно-однозначное соответствие:

x₁ x₂ ... x_n x_n+1 ... x_n+m

y_m+1 y_m+2 ... y_m+n y₁ ... y_m

Если одну из задач решаем симплексным методом, то компоненты оптимального решения двойственной задачи равны соответствующим оценкам в последней таблице плюс c_j, стоящее над столбцом.

при .

Следовательно, для двойственной задачи

при .

Проверка. .

Задачи для выполнения контрольных заданий №2

Для модели предыдущей задачи составить двойственную, из симплексной таблицы найти ее решение и проверить по основной теореме.