Элементы теории корреляции

Элементы теории корреляции

Корреляционный анализ — широко известный и эффективный метод математической статистики, позволяющий по совокупности значений показателей выявлять и описывать связи между показателями.

Если каждому значению величины X соответствует несколько значений величины У, но число этих значений, как и сами значения, остается не вполне определенным, то такие связи называются статистическими. Например, уровень производительности труда на предприятиях тем выше, чем больше его электровооруженность. Вместе с тем, нет никаких оснований утверждать об однозначности этой зависимости.

Если изменение одной из переменных сопровождается изменениями условного среднего значения другой переменной величины, то такая зависимость является корреляционной.

Под условным средним yX подразумевают среднее арифметическое значений У, соответствующих значению X = х. Например,

пусть при X1 = 2 величина У приняла значения У1 = 5, у2 = 6 и у3 = 10. Тогда условное среднее равно

Корреляционной зависимостью У от X называют функциональную зависимость условной средней ух от x: ух = f (x). Это уравнение называют уравнением регрессии У на X; функцию f (x) называют регрессией У на X, а ее график — линией регрессии У на X.

Корреляционный анализ рассматривает две основные задачи.

Первая задача теории корреляции — установить форму корреляционной связи, т. е. вид функции регрессии (линейная, квадратичная и т. д.).

Вторая задача теории корреляции — оценить тесноту (силу) корреляционной связи.

Теснота корреляционной связи (зависимости) У на X оценивается по величине рассеивания значений У вокруг условного среднего. Большое рассеивание свидетельствует о слабой зависимости У от X, малое рассеивание указывает на наличие сильной зависимости.

Примеры

Пример 171. Среднемесячная заработная плата (тыс. руб.) в Ярославской области в 2001-2002 годах составила по отраслям:

отрасль ЖКХ здравоохранение наука образование транспорт промышленность

2001 год 2 1,5 2,7 1,3 3,2 3,2

2002 год 3 2,8 3,6 2,4 4,9 4,5

Найдите выборочный коэффициент корреляции для заработной платы в указанные годы.

Решение. 1). Найдем выборочные средние:

2). Вычислим выборочную корреляцию:

3). Найдем выборочные средние квадратические отклонения:

4. Вычислим теперь выборочный коэффициент корреляции:

Поскольку r(X,Y) достаточно близко к 1 , то между заработной платой по отраслям в 2001 и 2002 годах существовала почти линейная зависимость (зарплата в 2002 году по каждой отрасли увеличилась примерно в 1,5 раза).

Пример 173. Построить прямую регрессии мировых рекордов по прыжкам с шестом от соответствующего года, если нам известна динамика результатов в ХХ веке.

1912 г.	Стокгольм,	Гарри Бебкок (США)	3,95
1936 г.	Берлин	Эрл Мидоуз (США)	4,35
1972 г.	Мюнхен	Волфганг Нордвик (ГДР)	5,50
1980 г.	Москва	Владислав Казакевич (Польша)	5,78
1988 г.	Сеул	Сергей Бубка (СССР)	5,90
1994 г.	Сетриере	Сергей Бубка (Украина)	6,14

Решение. 1). Запишем в таблицу соответствие результатов некоторых мировых рекордов по прыжкам с шестом и годы их установления в ХХ веке.

Х = {год рекорда}	(19)12	36	72	80	88	94
Y={высота рекорда}	395	435	550	578	590	614

2 ).

3 ).

4).

5. Искомое уравнение прямой регрессии выглядит следующим образом

или

По полученной прямой регрессии можно на вероятностном языке предсказывать уровень мировых рекордов по прыжкам с шестом, так, в 2010 году ( Х = 110) получаем ожидаемый прыжок на высоту примерно в 6 м 53 см. (поживем - увидим!)

В том случае, когда исследуется связь между несколькими признаками, то корреляцию называют множественной и она задается всеми коэффициентами парных корреляций, которые записываются в корреляционную матрицу.