Линейное программирование.

Линейное программирование – это математический аппарат для решения задач оптимизации, в которых целевая функция и ограничения линейны.

Задачу линейного программирования в общем виде можно сформулировать следующим образом – найти минимальное (максимальное) значение целевой функции

при ограничениях

;

где c_j, a_ij, a_kj, a_ej, b_i, b_k, b_c – заданные действительные числа; x_j – оптимизируемые параметры.

Основным методом решения задач линейного программирования является симплекс-метод [9,14,15], позволяющий за конечное число итераций найти оптимальное решение.

Оптимизацию технологических процессов и режимов резания, в частности, попробуем осуществить с использованием идей линейного программирования.

Выбор тех или иных технических ограничений зависит от вида обработки и определяется конкретными условиями технологического, конструкционного и организационно-производственного характера. Однако можно выделить ряд наиболее важных технических ограничений, которые составляют основу математических моделей процесса резания при точении, фрезеровании, сверлении и других методах обработки. Такими ограничениями являются режущие возможности инструмента, определяемые его стойкостью; мощностью электродвигателя привода главного движения; наименьшая и наибольшая скорости резания (частота вращения шпинделя (n) и подача (s), допускаемые кинематикой станка; прочность и жесткость режущего инструмента; точность обработки; шероховатость получаемой поверхности).

В качестве оценочной функции при оптимизации по двум параметрам (n, s) обычно используют минимальную стоимость

F_min= c/(ns),

где с - коэффициент, не зависящий от режимов резания n и s. Из этого выражения видно, что функция F_min будет наименьшей, когда произведение ns будет максимальным.

Технические ограничения строятся на основе известных зависимостей. Так ограничение по стойкости инструмента для точения будет получено из выражений для скорости резания:

;

где Т – период стойкости инструмента, мин; m – показатель относительной стойкости; t – глубина резания, мм; D – диаметр заготовки, мм; C_v, x_v, y_v – коэффициенты, характеризующие условия обработки; k_v – общий поправочный коэффициент.

После несложных преобразований получим техническое ограничение в следующем виде:

(14)

Аналогично можно определить другие технические ограничения. Для того чтобы воспользоваться методами линейного программирования, необходимо оценочную функцию и все ограничения привести к линейному виду. Это можно сделать прологарифмируя все выражения. Так, выражение (14) после этой процедуры будет иметь вид

Введем обозначения x₁=ln n; x₂=ln 100S;

(в обозначении х₂ подача S умножается на 100 чтобы избежать получения отрицательных значений логарифмов) и получим техническое ограничение в линейном виде:

х₁+y_vх₂≤b₁

Для оценочной функции с учетом ее вида после логарифмирования будем иметь

f₀=(x₁+x₂)_max.

Приведение всех технических ограничений к линейному виду и представление их в виде системы неравенств в совокупности с оценочной функцией дает математическую модель процесса резания металлов. Определение оптимальных режимов резания с помощью линейного программирования может выполняться аналитическим или графическим методами [14,15].

Часто методы линейного программирования используют для составления оптимальных планов производства. Например, для изготовления трех видов изделий A, B и C используется токарное, фрезерное, сварочное и шлифовальное оборудование. Затраты времени на обработку одного изделия для каждого из типов оборудования указаны в таблице 3.3. В ней же указан общий фонд рабочего времени каждого из типов используемого оборудования, а также прибыль от реализации одного изделия каждого вида. Необходимо определить, сколько изделий и какого вида следует изготовить предприятию, чтобы прибыль от их реализации была максимальной.

Предположим, что будет изготовлено х₁ единиц изделий вида А, х₂ единиц – вида В и х₃ единиц – вида С

Таблица 3.3.

Затраты времени на обработку одного изделия для каждого из типов оборудования.

Тип оборудования	Затраты времени (станко-час) на изготовление одного изделия вида			Общий фонд рабочего времени оборудования (4)
	А	В	С
Фрезерное	2	4	5	120
Токарное	1	8	6	280
Сварочное	7	4	5	240
Шлифовальное	4	6	7	360
Прибыль (руб.)	10	14	12

Тогда для производства такого количества изделий потребуется затратить: 2х₁+4х₂+5х₃ станко-часов фрезерного оборудования.

Так как общий фонд рабочего времени станков данного типа не может превышать 120, то должно выполняться неравенство

2х₁+4х₂+5х₃≤120

Аналогичные рассуждения относительно возможного использования токарного, сварочного и шлифовального оборудования приведут к следующим неравенствам:

х₁+8х₂+6х₃≤280

7х₁+4х₂+5х₃≤240

4х₁+6х₂+7х₃≤360

При этом, так как количество изготовляемых изделий не может быть отрицательным, то х₁≥0, х₂≥0, х₃≥0.

Далее, если будет изготовлено х₁ единиц изделий вида А, х₂ единиц изделий вида В и х₃ единиц изделий вида С, то прибыль от их реализации составит

F=10х₁+14х₂+12х₃

Таким образом, приходим к следующей математической задаче: дана система

2х₁+4х₂+5х₃≤120,

х₁+8х₂+6х₃≤280, (3.15)

7х₁+4х₂+5х₃≤240,

4х₁+6х₂+7х₃≤360

четырех линейных неравенств с тремя неизвестными х_j (j=1,3) и линейная функция относительно этих же переменных

F=10х₁+14х₂+12х₃; (3.16)

требуется среди всех неотрицательных решений системы неравенств (3.15) найти такое, при котором функция (3.16) примет максимальное значение.