14. Аналитические модели одноканальных смо с отказами и с ожиданием

Величины P₀, P_отк, q рассчитываются по разному в зависимости от типа СМО.

1) Точный расчет возможен для Марковских СМО на основе аналитических зависимостей.

2) Приближенный расчет возможен для любых типов СМО методами имитационного моделирования.

Одноканальные СМО с отказами

М/М/1/0

Граф состояний

S₀ – канал свободен

S₁ – канал занят

P₀(t) – вероятность состояния «канал свободен»

P₁(t) – вероятность состояния «канал занят»

При t стремящимся к бесконечности

Одноканальная СМО с ожиданием

М/М/1/N-1

S₀ – канал свободен

S₁ – канал занят, в очереди 1 заявка

S_n – канал занят, в очереди N-1 заявка

15. Аналитические модели многоканальных смо с отказами и с ожиданием.

Состояния системы: - ни один канал не занят; - среди свободных каналов только один является занятым.… - среди свободных занято  каналов;… - среди всех  каналов нет ни одного свободного. Рядом со стрелками обозначены интенсивности соответствующих потоков событий. По стрелкам слева направо переходу системы способствует поток заявок, интенсивность которого составляет  (количество несвободных каналов) и поступила очередная заявка, то осуществляется перемещение системы в состояние .

Найдем интенсивности потоков событий, которые способствуют переходу системы в направлении (стрелки) справа налево. Допустим система находится в состоянии , соответственно, интенсивность потока событий, который заставляет переходить систему из одного состояния в другое по направлению  занятых каналах, интенсивность потока составит .

В соответствии с общими правилами запишем уравнения Колмогорова для вероятностей состояний:

С ожиданием

Система с ограниченной длиной очереди. Разберем n-канальную СМО с ожиданием, интенсивность приходящих заявок которой равняется  ; интенсивность обслуживания —  , количество мест в очереди —  .

Для каждого состояния системы определяется соответствующий числу заявок номер. Эти заявки имеют взаимосвязь с системой.

отсутствие очереди:

- нет ни одного занятого канала; - среди свободных каналов, занятым является только один;… - среди свободных заняты только  каналы;… - нет ни одного свободного канала; существует очередь: - нет ни одного свободного канала, существует одна очередная заявка;

… - нет свободных каналов, число очередных заявок —  ;… .

Отобразим выражения для предельных вероятностей состояний, применяя обозначение  :

   (в данном случае использовано выражение для суммы геометрической прогрессии, знаменатель которой включает  ). Вероятность отказа. Прибывшей в систему заявке может быть отказано в случае, если нет свободных мест в очереди:

16. Сущность имитационного моделирования. Различия имитационных и аналитических моделей.

Имитационное моделирование используется в тех случаях, когда др. способы невозможны.

К имитационным моделям прибегают тогда, когда объект моделирования настолько сложен, что адекватно описать его поведение математическими уравнениями невозможно или затруднительно.

Им. моделирование позволяет разлагать большие модели на части, которые можно моделировать по отдельности, создав др. более сложные модели.

Основные различия аналитических и имитационных моделей

Ан. модели – ур-я или системы ур-й, записанные в виде алгебраич., интегральн., конечно-разностных, диф. и др. соотношений и лог. условий.

Им. модели – вместо аналитического описания взаимосвязей между входами и выходами исследуемой системы строят алгоритм, отображение, последовательность развития процессов внутри исследуемого объекта, а затем «проигрывают» поведение объекта на ПК.

Им. модель в отличие от аналитической представляют не законченную систему уравнений, а развернутую схему с детально описанной структурой и поведением изучаемого объекта.

	Ан. модели	Им. модели
Виды моделирования по отношению ко времени	динамическое/статическое	динамическое
Форма записи модели	ур-я, системы ур-й	алгоритмы функционир. об.
Формализация и построение модели	трудны	более легки
Способы решения модели	алгоритмы оптимизации	эвристический анализ, эксперимен-ый анализ
Кол-во испытаний для решения	одно	много
Решения	точное значение	вероятностные хар-ки
Нахождение оптимального решения в случае построения модели	гарантировано	не гарантировано
Исследование сложности системы	затруднено	возможно
Применимость на практике	ограниченная	не ограниченная
Степень близости модели к изучаемому объекту	сильно упрощена	макс. приближена
Класс изуч. объектов	сужен	расширен

Особенности имитационных моделей:

1) при создании имитационной модели законы функционирования м.б. неизвестны (достаточно знать алгоритмы функционирования частей системы и связи между ними)

2) в имитационной модели связи между параметрами и харка-ми системы задаются, а значение исследуемых характеристик определяется в ходе имитационного эксперимента на ЭВМ.

Условия применения имитационных моделей – широкий класс систем практически любой сложности.

Достоинства им. моделирования:

1)Часто единственный метод исследования сложных систем

2)Им. модель дает возможность исследовать сложные системы на различных уровнях детализации.

3)Появляется возможность исследования динамики взаимодействия элементов системы

4)Имеется возможность оценки характеристик системы в нужный момент времени.

5)Существует достаточно много инструментальных средств

Недостатки им. моделирования:

1) Дороговизна

2)Меньшая степень общности результатов, не позволяет выявлять закономерности функционирования

3)Не существует надежных методов оценки адекватности

Составные части им. модели:

Компоненты – составные части, которые при соответствующем объединении образуют систему.

Параметры – определенные условия, в которых функционирует система. (не изменяются в процессе моделирования)

Переменные:

1)Экзогенные – входные переменные, порождаются вне системы или являются результатом воздействия внешних причин.

2)Эндогенные – переменные, возникающие в системе (состояния, выходы)

Функциональные зависимости – зависимости, которые описывают взаимодействие между переменными, а также компонентами системы.(детерминированные, стохастические)

Ограничения – пределы изменения значений переменных (искусственные, вводятся разработчиком или естественные, определяются законами среды)

Целевые функции – точки отображения целей или задач системы и необходимых правил оценки их выполнения. (цели сохранения и приобретения)

Метод имитационного моделирования заключается в имитации программными средствами процесса функционирования системы по известным алгоритмам, лог. и аналит. зависимостям, формализующим внешние воздействия, элементы системы и связи между ними.