Вопрос 32. Прямые методы оптимизации решений при многих критериях.

Метод аналитической иерархии. Общая схема МАИ. Постановка задачи:

1.Задана общая цель (n), назначена соответствующая система, которая должна оптимизироваться.

2. Задано произвольное число альтернатив, из которых нужно выбрать лучшее

3. Задано произвольное число частных критериев, по которым анализируются эти альтернативы.

Требуется найти наилучшую альтернативу. Атрибуты:

6. Н а первом шаге задача оптимизации структурируется в виде соответствующей иерархии ( цели, критерии и альтернативы).

7. Реализация попарных сравнений для элементов каждого уровня с учетом специфики требований элементов более высокого уровня иерархии. При этом результаты попарных сравнений реализуются в виде матрицы, по которым затем определяется веса важности этих элементов

8. Определяются количественные индикаторы альтернативы, называемые приоритетами.

Шкала сравнений: 1.Эквивалентны (1) 2.Умеренное превосходство (3-1) 3.Существенное превосходство (5-1) 4.….(7-1) 5.….(9-1)

Матрица сравнений сравнивает каждый элемент с каждым:

	А	Б	С	Д	сумма	Нормируем	Итог
А	1	2	3	6	12	1/2	1*1/2+2*1/4+3*1/6+6*1/12=2
Б	1/2	1	3/2	3	12/2	1/4	1
С	1/3	2/3	1	2	12/3	1/6	4/6
Д	1/6	1/3	1/2	1	12/6	1/12	4/12
сумма					24	1

Свойства матрицы:

• a_ii=1, для любых i

• aij=1/aji =>aij*1/aji=1 – обратно симметричная матрица

• aik*akj=aij

• vi/vk*vk/vj=vi/vj – согласованная матрица

4. Оптимизация основного частного критерия

Среди частных критериев выделяется один, принимается как основной. Для остальных указываются приемлемые значения.

при ограничениях

где — задаваемые допустимые значения для каждого критерия.

Метод взвешенной суммы оценок частных критериев

Формулируется скалярный критерий как взвешенная сумма оценок частных критериев:

— вес k-го критерия, задаваемый экспертами или непосредственно ЛПР с учетом особенностей исходной рассматриваемой задачи.

Минимаксный обобщённый критерий

На основе частных критериев исходной многокритериальной задачи формируется обобщенный критерий следующим образом: где — коэффициент важности каждого критерия (достаточно часто на практике в качестве коэффициента выбирают значение (gk это приемлемое значение критерия)). Точки минимума этой критериальной функции - искомое оптимальное решение.

Минимизация обобщённого скалярного критерия

Формируется скалярный обобщенный критерий

где — минимальное значение каждого частного критерия на допустимой области X.

Метод последовательных уступок

В случае, когда частные критерии могут быть упорядочены в порядке убывающей важности. Пусть — наиболее важный, — наименее.

1) решается однокритериальная задача для наиболее важного критерия:

Пусть — минимальное значение, полученное на первом этапе. Назначается некоторая уступка ∆₁ (∆₁> 0), которую можно допустить в рамках реализации этого метода с учетом особенностей критерия по отношению к найденному значению , чтобы перейти ко второму этапу. На критерий налагается требование, согласно которому его оценка не должна превышать допустимой величины .

2) ищем решение, минимизирующееg⁽²⁾(x) при указанном ограничении на при указанном ограничении на и с учетом заданного множества X допустимых решений, т.е. решаем следующую однокритериальную задачу:

при ограничениях

И ТД.

Метод может приводить к решениям, не принадлежащим переговорному множеству решений, оптимальных по Парето. Другими словами, найденное решение может не быть эффективным.

Метод идеальной точки

Состоит в нахождении точки, дающей решение, ближайшее к так называемой утопической точке, которую, обычно, задает ЛПР, в виде желаемых значений показателей всех частных критериев. Найденную точку с указанным свойством и принимают в качестве наилучшего решения по методу идеальной точки. Пусть Пусть — наилучшие значения этих критериев в .

Тогда в пространстве точку с координатами называют утопической точкой — УТ. Ближайшую (по метрике) к УТ точку, которую можно реализовать при заданных ограничениях , называют идеальной точкой. Метод идеальной точки может приводить к решениям, не принадлежащим границе Парето.