2. Определение факторных нагрузок:

В отличие от метода главных компонент общая модель факторного анализа имеет неоднозначное решение. Это обусловлено:

1. Свобода выбора характерности при нахождении редуцированной корреляционной матрицы ;

2. Число общих факторов не определено.

Наиболее распространёнными методами решения являются:

• Метод главных факторов;

• Метод наименьших квадратов;

• Обобщенный метод наименьших квадратов;

• Метод максимального правдоподобия Лоули.

Общая схема факторного анализа:

1

2

3

4

5

6

Вычисление корреляционной матрицы , состоящей из парных коэффициентов корреляции, рассчитываемых по формуле:

4. Вычисление факторного отображения;

5. Вращение факторного пространства

В случае если в структуре факторного отображения нельзя выделить доминирующие факторы, затрудняется интерпретация факторного пространства. Сложная структура матрицы факторных нагрузок усложняет процесс управления явлением путем воздействия на отдельные факторы, так как фактор может равномерно влиять на все признаки. Однако эта проблема может быть устранена при вращении факторного пространства.

Формально вращение можно представить в виде разложения матрицы факторных нагрузок:

где – матрица перехода к новым факторам размера k*k;

– матрица факторных нагрузок после вращения.

Если накладывается ограничение, что матрица C – ортогональна, то преобразование факторного пространства называется ортогональным вращением. Если матрица переходов не является ортогональной, то преобразование называется косоугольным вращением.

Оценка качества моделей факторного анализа

Зачастую вопрос о значимости факторных нагрузок решается с помощью эмпирических порогов значимости: если факторная нагрузка , то связь между признаком i и фактором j признается значимой.

Однако возможно оценивать отдельные элементы и предпосылки факторного анализа:

• -критерий Уилкса

значимость матрицы парных корреляций R

H₀: значима с уровнем α;

H₁: не значима с α.

сравнивается с квантилями -распределения с степенями свободы при α.

При принимается гипотеза H₀.

• -критерий Лоули

достаточность выделенных факторов

где – восстановленная корреляционная матрица.

сравнивается с квантилями -распределения с степенями свободы при α.

При принимается гипотеза H₀, то есть количество выделенных факторов является достаточным с α.

• Подход Хармана

Дает общую оценку качества факторного решения

Данный индикатор является эмпирическим и не имеет эталонного распределения. Среди нескольких факторных моделей предпочтение отдается модели с наименьшимH.

Использование результатов факторного анализа в регрессионных моделях

для улучшения результатов регрессионного анализа. В случае мультиколлинеарности признаков переход от наблюдаемых признаков к некоррелированым факторам позволяет улучшить качество регрессионной модели.

Мультиколлинеарность в многофакторной регрессии, переходим к модели факторного анализа. Строим общие факторы и с ними формируем новую множественную регрессию. Стоит отметить, что в отличие от метода главных компонент, в новой многофакторной регрессии на общих факторах изменится, во-первых, R² модели, а, во-вторых, ошибка модели E. Изменение величины остатков модели происходит из-за того, что есть ошибка в изначальной регрессионной модели, а также есть ошибка в факторной модели (характерность)!