Вопрос 21. Динамическая модель в. Леонтьева как система линейных дифференциальных уравнений.

Динамические модели описывают состояние экономики в момент времени t, который предопределяется развитием экономики в предшествующие годы.

Модель Леонтьева.

В качестве искомых параметров - объемы выпуска отдельных видов продукции и годовые объемы прироста.

Предпосылки:

1) наличиелинейной однородной зависимости между текущими производственными затратами и объемом производства.

2) линейная зависимость между затратами капитальных вложений и приростом продукции.

3) предположение о некоторой функциональной зависимости (выражено в виде многочлена, exp) между конечным спросом и объемом производства.

Динамическая модель Леонтьева имеет вид:

– поток капиталовложений из отрасли iв отрj

– изменение потоков капиталовл-й в отраслях

– конечный спрос

- выпуск прод-ции в отрасли i(объем производства).

Соотношениемежду изменениями потоков кап влож-й в отраслях и изм-ями вал выпусков:

– коэф капиталоемкости. Показ, какая есть потребность в кап вложенияхiвида для обеспечения прироста выпуска проукцииjвида на единицу.

Модель в виде:

- потребление

Решение – определение валовых выпусков x.

Система предполагает мгновенную реакцию на расширение пр-ва, связанное с капиталовложениями.

Решение невырожденное, если ессть обратная матрица к В.

Из статической модели: Х=АХ+У; X=BY

Т.к.

то можно воспользоваться:

– матрица коэффициентов полной приростной капиталоемкости, т.е. матрица полных затрат производственного накопления на единичные приросты элементов используемого национального дохода.

Решение уравнений системы производится в 3 этапа:

1) определяется общее решение однородной системы при c(t)=0

2) находится частное решение неоднородной системы

3) из начальных условий находятся неопределенные постоянные общего решения.

Вопрос 22. Метод потенциалов для решения стандартной транспортной задачи.

МП – модификация симплекс-метода решения задачи ЛП применительно к СТЗ.

Первый точный метод решения транспортной задачи.предложен в 1949 году Кантаровичем А. В. и Гавуриным М. К. по существу он является детализацией метода последовательного улучшения плана применительно к транспортной задаче.

Метод потенциалов позволяет, отправляясь от некоторого опорного плана перевозок, построить решение транспортной задачи за конечное число шагов (итераций).

Сначала находят опорный план транспортной задачи, а затем его последовательно улучшают до получения оптимального плана.

Задача:

Однородный груз, имеющийся в m пунктах отправления (производства) А1, А2, ...Аm соответственно в количествах а1, а2, ...аm единиц, требуется доставить в каждый из n пунктов назначения (потребления) В1, В2, ..., Вn соответственно в количествах b1, b2 ..., bn единиц. Стоимость перевозки единицы продукции -cij (i=1,m; j=1,n).

Требуется составить такой план перевозок, чтобы все заявки были выполнены, а общая стоимость всех перевозок была минимальна.

Транспортная задача, в которой суммарные запасы и суммарные потребности совпадают, называется закрытой моделью; в противном случае - открытой. Открытая модель решается приведением к закрытой. В случае, когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, вводится фиктивный n+1 потребитель. В случае, когда суммарные потребности превышают суммарные запасы, т.е., вводится фиктивный m+1 поставщик. Для фиктивного тарифы = 0.

Теорема 1. Базисное решение закрытой модели транспортной задачи содержит m+n-1 базисных компонент.

допустимое решение - план, базисное - опорный план, оптимальное - оптимальный план.

Теорема 2. Оптимальный план закрытой модели транспортной задачи существует всегда.

Решение разбивается на 2 этапа:

• Исходное опорное решение

• Приближение к оптимреш-ю

1. Этап.

• опорный план: способ северо-западного угла.

Последовательный перебор строк таблицы сверху вниз. Перебирать слева направо не охваченных или не полностью охваченных поставками потр-лей. Весь груз от поставщиков будет распределяться по потр-лям.

• опорный план: способ minэл-та.

Запись отгрузок в первую очередь в ячейки с minтарифом cij

2. Этап.

Переменные:

-базисные (заполненные)

-свободные (пустые)

Отыскание симплекс множителей.

-В крайний правый столбец внесем значения неизвестных u1,…,um,

-в нижнюю строку - значения неизвестных v1,…,vn,.

Эти m + n неизвестных для всех (i, j), соответствующих базисным переменным, должны удовлетворять uj = vi - cij.

Полагают u1 = 0. U1+c1j=vj (1j-клетка заполненная). Теперь знаем vj. Vj-cfj=uf (fj-заполненная). Узнали uf. Продолжаем так же «конем».

Потом строим матрицу Д ( ). Где наим.отр.элемент-будет вершина цикла. Прямые углы, только заполненные клетки. Знаки + и – через одну вершину. Перемещаем максимум сколько возможно. Снова матрица Д, снова если есть отр. элементы, то перемещаем.

1. Строят систему потенциалов, соответствующих опорному решению. Для этого решают систему уравнений . Чтобы найти частное решение, одному из потенциалов задают произвольное значение (чаще нуль).

2. Если для всех свободных клеток , то решение заканчивается. Если для каких-то клеток <0, то решение не является оптимальным.

3. Переходят к новому опорному решению. Для этого находят клетку таблицы задачи, которой соответствует наименьшая отрицательная оценка. Строят цикл, включающий в свой состав данную клетку и часть клеток, занятых опорным решением. В клетках цикла поочередно расставляют знаки «+» и «-», начиная с «+» в клетке с наименьшей отрицательной оценкой. Осуществляется сдвиг по циклу на величину . Клетка со знаком «-», в которой достигается минимум, остается пустой. Если минимум достигается в нескольких клетках, то одна из них остается пустой, а в остальных проставляют базисные нули, чтобы число занятых клеток было m+n-1. Далее возвращаются к пункту 3 алгоритма. Для экономической интерпретации двойственных оценок под понимаются локальные цены однородного продукта у поставщика, а под - локальная цена у потребителя.