2. Метод максимального правдоподобия

оптимальные оценки параметров обеспечивают максимум так называемой “функции правдоподобия”.

Эта функция - условная плотность совместного распределения (|y, х) п+1-го неизвестного параметра модели ₀,₁,..._n при заданных значениях y_t и х_it, i=1,..., п; t=1,..., Т,

эти переменные взаимосвязаны между собой эконометрической моделью с функционалом f(, x) в общем случае.

Оптимальные оценкиa₀^*, a₁^*,..., a_n^* параметров этого функционала характеризуются в такой ситуации максимальной вероятностью, равной значению функционала правдоподобия в точке (п+1)-мерного пространства оценок с координатами a₀^*, a₁^*,..., a_n^*. Такие оценки и называют оценками максимального правдоподобия.

в основе ММП:

1. модель адекватна процессу изменения (распределению) y_t, в том смысле, что ее форма и состав факторов “правильно” выражают причинно-следственные связи. Таким образом, истинная ошибка _t является ”абсолютно” случайной переменной.

2. Закон распределения значений y_tизвестен. Чаще всего предположение о нормальном характере.

3. Функция плотности ЗР ошибки _t эквивалентна функции плотности ЗР переменной y_t,

т. е. (_t)=(y_t), и в общем случае (_t )N(0, _).

“лучшим” оценкамa₀^*, a₁^*,...,a_n^*“истинных” значений параметров модели ₀,₁,...,_n должен соответствовать наиболее вероятный набор “фактических” значений ошибкие₁^*, е₂^*,..., е_T^*,

максимум произведенияр(е₁)р(е₂)...р(е_Т) соответствует наиболее вероятному сочетанию значений _t, t=1, 2,..., T, обеспечиваемому “наилучшими” оценками параметров модели.

решение задачи оценки параметров м б получено в результате максимизации целевой функции:

по неизвестным параметрам ₀,₁,...,_n и _²

Целевая функция типа (2.109) называется функцией максимального правдоподобия.

В таком случае в условиях независимости разновременных ошибок _t и _t–i

оптимальныезначенияa₀^*, a₁^*,...,a_n^* и _e² в этом случае могут быть найдены путем решения следующей системы из п+2-х дифференциальных уравнений в частных производных по этим параметрам:

Векторно-матричная форма:

у=Х+,

вектор ошибки можно представить в следующем виде:

=у–Х,

Дифференцируяпо неизвестному вектору параметров  и по неизвестной дисперсии ошибки _², получим

l/ = (–Ху+ ХХ)=0;

l/_²= (у–Х)(у –Х)=0.

Поскольку _²0, из первого уравнения системы (2.116) непосредственно получаем вектор оценок ММП коэффициентов линейной эконометрической модели в следующем виде:

a^*=a=(ХХ)^–1Ху,

а из второго – оценку ММП дисперсии ошибки эконометрической модели:

_е² = (у–Хa)(у –Хa)=

Выражение (2.117) ничем не отличается от своего аналога (2.8), полученного с использованием МНК, а оценка дисперсии ошибки модели, полученная на основании выражения (2.118), является смещенной. Вследствие этого на практике используют несмещенную оценку дисперсии, определяемую следующим образом:

Таким образом, при предположении о нормальном законе распределения ошибки эконометрической модели и ее свойствах, определенных выражениями (2.20)–(2.24), оценки ее коэффициентов, полученные с использованием методов максимального правдоподобия и наименьших квадратов, совпадают. Аналогичное совпадение отмечается и у ковариационных матриц этих оценок.

Если же ошибки модели распределены по другому закону (например, Гаусса с тяжелыми хвостами, Стьюдента и т. п.), то вообще говоря, выражения для оценки коэффициентов, полученные на основе ММП, будут отличаться от их аналогов, полученных с использованием МНК.